Cambio de coordenadas para que una métrica riemanniana coincida con otra, hasta la segunda derivada

Question

Deje $g$ $g'$ dos $C^2$-suave de Riemann de las métricas definidas en los vecindarios $U$$U'$$0$$\mathbb R^2$, respectivamente. Supongamos además que el escalar de curvatura en el origen es $K$ en ambos parámetros.

Mi pregunta: ¿hay una transformación de coordenadas de tomar una métrica para el otro, de tal manera que de acuerdo a las segundas derivadas en el origen? es decir, si $x : U \to U'$ es la transformación, hemos

$g_{ij}' = g_{ab} ~x_i^a x_j^b$,

la evaluación de todo a $0$; no son similares ecuaciones para la primera y segunda derivadas. Es evidente que esto es falso si el escalar de curvatura no son iguales. No me importa lo que ocurre fuera del origen.

En el excelente hilo Cuando es una métrica de Riemann equivalente a la plana métrica en $\mathbb R^n$?, Greg Kuperberg dice:

Si recuerdo correctamente, hay una más general que debido a alguien, que cualquiera de los dos colectores de Riemann son localmente isométrica si y sólo si su curvatura tensores son localmente "el mismo".

Si "isometría local" significa que las métricas son iguales en una vecindad del origen, entonces las métricas que tengo en mente no es localmente isométrica, ya que la única información que tengo es que sus curvaturas coincidir en un punto.

Edit: estoy bastante seguro de que Deane contestado a mi pregunta, pero permítanme aclarar. Deje $g_{ij}$ ser algunos "razonable" métrica, por ejemplo, una de rugosidad de la superficie de la métrica, y considerar la posibilidad de un punto de $p$ donde el escalar de curvatura es $K$. Deje $g_{ij}'$ ser arbitraria métrica en un vecindario $U$ de la procedencia en $\mathbb R^2,$ con el escalar de curvatura $K$$0$.

Entonces la pregunta es: ¿existe un cambio de coordenadas en la rugosidad de la superficie, tales que la ecuación de $g_{ij}'(0) = g_{ab}(p) ~x_i^a x_j^b$ está satisfecho, así como las correspondientes ecuaciones para la primera y segunda derivados? Es decir, no se $18$ piezas de información pertinente

$(\*)~~~g_{11}', g_{12}', g_{22}'; g_{11,1}', g_{12,1}', g_{22,1}', g_{11,2}', g_{12,2}', g_{22,2}'; g_{11,11}', g_{12,11}', g_{22,11}', g_{11,12}', g_{12,12}', g_{22,12}', g_{11,22}', g_{12,22}', g_{22,22}'$.

Quiero cambiar las coordenadas de mi agradable superficie tal que la métrica y sus derivados línea con $(\*)$.

Answer 1

Como tengo entendido, su pregunta y su natural generalizaciones pertenece a la muy desarrollada la teoría (que ahora es una parte de la singularidad de la teoría, creo). Esta teoría fue iniciada por Tresse:

Tresse, A., Sur les Invariantes Differentiels des Groupes Continus des Transformaciones, Acta Mathematica, 1894, vol.18, pp 1-88.

Véase también la introducción y referencias a S. Dubrovskiy de papel del "espacio de Moduli de conexiones simétricas" http://arxiv.org/abs/math/0112291

Answer 2

La respuesta es sí. Sólo uso geodésica normal (también conocido como exponencial) coordina. Si usted tiene un libro o dos sobre la geometría de Riemann, con tan sólo mirar por que o una discusión de la exponencial mapa.

[COMENTARIO ADICIONAL] Para una de 2 dimensiones métricas, es un buen ejercicio para entender todo esto usando campos de Jacobi. De hecho, en mi opinión, la mejor manera de trabajar y entender el mapa exponencial (que es un producto natural de la parametrización de todos radial geodesics que emanan de un punto) es a través de campos de Jacobi y la ecuación de Jacobi. Por ejemplo, lleva a una fácil prueba de un resultado estándar, es decir, que los coeficientes de la serie de Taylor de la exponencial mapa en el origen contener sólo la de Riemann tensor de curvatura y su covariante derivados. La respuesta a tu pregunta de la siguiente manera a partir de este teorema.

Answer 3

Voy a tratar de explicar de la siguiente afirmación, que me imagino que es un teorema de Riemann: si $g$ es una métrica de Riemann en $V:=\mathbb{R}^n$, el diffeomorphism-invariante de la información contenida en el 2-jet de $g$ $0$ es precisamente lo que el tensor de curvatura $Riem$ (a $0$) ve. El caso de $n=2$ es, como yo lo entiendo, justo lo que quería comprobar.

En primer lugar, echemos un vistazo a la $0$th el fin de plazo $g(0)$, modulo 1-jets de diffeomorphisms fijación $0$. Álgebra lineal nos dice que podemos hacer una transformación lineal, de modo que $g(0)=I$ (por otra parte, tenemos una $O(V)$'s vale la pena de opciones). Ahora vamos a intentar arreglar $g=I+O(|x|^2)$. Vamos a hacer esto por actuar por 2 chorros de diffeomorphisms $\phi(x)_i=x_i+a_i^{jk}x_jx_k$ a matar a la $O(|x|)$ plazo en $g$. Así, el primer fin de plazo de $g$ $Sym^2(V^\ast)\otimes V$ (porque al ver $\partial g_{ij}/\partial x_k$), mientras que el segundo fin de plazo de $\phi$$V\otimes Sym^2(V^\ast)$. El diffeos ley de cambiar el 1er fin de plazo (según mis cálculos) por $2(a_j^{ik}+a_k^{ij})$. La fórmula $a_i^{jk}\mapsto 2(a_j^{ik}+a_k^{ij})$ define un surjective lineal mapa de $V^\ast\otimes Sym^2(V)\to Sym^2(V)\otimes V^\ast$, y que hace el trabajo. El lineal mapa es entonces también inyectiva, así que no tuvo opciones en este paso.

El término cuadrático de $g$ se encuentra en $Sym^2(V^\ast)\otimes Sym^2(V)$, y de actuar por 3 chorros de diffeos cuya cúbicos término es en $V\otimes Sym^3(V^\ast)$ (debido a la simetría entre el tercer orden de los parciales). Así que el diffeomorphism-invariante parte de la 2-jet de $g$ es el cokernel de un cierto lineal (simetrización) mapa $$ f\colon V \otimes Sym^3(V^\ast) \to Sym^2(V)\otimes Sym^2(V^\ast). $$ La clase de $g$ $coker(f)$ es esencialmente la curvatura en $0$. De hecho, $f$ resulta ser inyectiva, por lo $coker(f)$ tiene dimensión $$ \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 - \frac{1}{6}n^2(n+1)(n+2) = \frac{1}{12}n^2(n^2-1): $$ precisamente la dimensión del espacio de curvatura de Riemann tensores, calculado por mirar el estándar de simetrías. He descrito este espacio como una representación de $O(V)$.

Creo que este enfoque podría ser en Spivak multi-volumen del libro. He escuchado de Donaldson, y espero que no se han destrozado demasiado mal.

Edit: como Deane notas, las coordenadas que he descrito son geodésica normal de coordenadas. Me gusta el método que he esbozado ya que no requiere de tecnología; uno no necesita ni siquiera para definir una conexión. El cambio de coordenadas (hasta tercer orden) álgebra lineal, no la resolución de la educación a distancia.