Espacio de clasificación de una extensión de grupo

Question

Considere una secuencia exacta corta de grupos abelianos -- estoy feliz de asumir que son finitos como un ejemplo de juguete: $$ 0 \to H \to G \to G/H \to 0\ . $$

Quiero entender el espacio de clasificación de $G$ . Desde $BH \cong EG/H$ , $G/H$ actúa sobre $BH$ y podemos escribir $BG \cong E(G/H) \times_{G/H} EG/H$ . Así, tenemos un haz de fibras (que escribiré en horizontal) $$ BH \to BG \to B(G/H) $$

Por otro lado, la extensión central está clasificada por un elemento de la cohomología del grupo $H^2(G/H,H)$ que es lo mismo que $H^2(B(G/H),H)$ . Este último es un elemento de la clase de homotopía de los mapas $[B(G/H),K(H,2)]$ y $K(H,2)\cong BBH$ . Este mapa parece que clasifica a un director $BH$ haz de la mano sobre $B(G/H)$ . Me resulta difícil imaginar que este "director $BH$ no es "el mismo" que el de arriba, así que la pregunta es, ¿cómo lo ves? A partir de esta construcción, ni siquiera me parece obvio que el haz de arriba sea un haz principal.

Supongo (y siendo un pobre físico, no estoy muy al tanto de mi teoría de la homotopía), que hay un sentido de que el espacio clasificador de un grupo abeliano es un 'grupo abeliano', y tomando los espacios clasificadores de una secuencia exacta te devuelve una 'secuencia exacta'. Eso te da un 'haz principal' (¿no son divertidas las comillas?), pero incluso entonces no estoy seguro de cómo ver que el mapa clasificador de este haz es el mismo que la clase en cohomología de grupo.

Cualquier referencia a los antecedentes necesarios también sería muy apreciada.

Answer 1

Su imagen es esencialmente correcto, excepto que usted necesita para especificar que los mapas tomar basepoints a basepoints (es decir, se señaló mapas).

BG es dado como la homotopy de fibra de una punta del mapa a partir de B(G/H) a BBH. La aplicación de la base de bucle espacio functor $\Omega$ a la punta de los mapas de rendimientos de la secuencia de grupo homomorphisms. Esto no requiere de G a abelian. No es una subclase de abelian central de extensiones, que son aquellos que pueden ser delooped de nuevo en los mapas de BB(G/H) a BBBH.

En general, el grupo de homomorphisms puede ser delooped una vez a los mapas de punta espacios, mientras que el grupo abelian homomorphisms puede ser delooped arbitrariamente muchas veces, a bucle infinito mapas de bucle infinito de los espacios. Hay una equivalencia entre grouplike homotopy conmutativo de espacios y de doble bucle espacios, pero dado que G es discreto, el doble bucle espacio de la propiedad es strictified de forma gratuita.

Edit: Un estándar de referencia para este tipo de material es el segundo capítulo de Adams, Bucle Infinito de los Espacios.

Answer 2

Sí. Los principales paquetes de la misma y su conjetura de que BA es un grupo abelian es exactamente correcto. Una buena referencia para esta historia, y de Segal es resultado de que David Roberts comillas, es Segal del papel:

G. Segal. Cohomology de grupos topológicos, Simposios Mathematica IV (1970), 377 - 387.

Los functors E y B puede ser descrito en dos pasos. Primero, se forma un simplicial espacio topológico, y luego te das cuenta de este espacio. Es fácil ver directamente que, por ejemplo, es siempre un grupo y que hay una inclusión G --> por ejemplo, lo que induce a la acción. El cociente es BG. Bajo condiciones adecuadas, por ejemplo, si G es localmente contráctiles (que incluye el caso discreto), el mapa por ejemplo --> BG admitir las secciones locales y así por ejemplo será un G-principal paquete de más de BG. Esto se demuestra en el apéndice de Segal de papel, anteriormente. Hay otras condiciones (bueno solo punto), que va a hacer una cosa similar.

La inclusión de G en por ejemplo es normal subgrupo precisamente cuando G es abelian, y en este caso BG es de nuevo un grupo abelian.

Creo que su pregunta estaba implícita en el discreto, pero el no discreto de configuración es relevante y es el tema de Segal del papel. Aproximadamente, aquí está la respuesta: Dado un abelian (topológico) grupo H, el BH-princical paquetes de más de un espacio X se clasifican por el homotopy clases de mapas [X, BBH]. Cuando H es discreto, BBH = K(H,2). Si X = K(G,1) para un grupo discreto G, estos corresponden a (central) grupo de extensiones:

H --> E --> G

Si G tiene la topología, a continuación, el grupo de extensiones pueden ser más interesantes. Por ejemplo, puede haber no trivial grupo de extensiones que son triviales como director de paquetes. Ejemplo fácil de existir cuando H es un contráctiles grupo. Sin embargo Segal desarrollado un cohomology teoría que clasifica todas estas extensiones. Que es el tema de su papel.

Answer 3

@There es una equivalencia entre espacios conmutativa grouplike homotopía y lazo doble

No, homotopía grouplike conmutativa no es suficiente. Lazo doble espacios tienen mucho más en ti forma de homotopies más alto, incluso si el espacio tiene una estructura conmutativa de homotopía estrictamente asociativa. Esa fue una de las motivaciones para operads. Ver también JF Adams: 10 tipos de H-espacios.

Answer 4

Una respuesta rápida y sucia es que si consideramos los grupos como groupoides de un solo objeto, vuelven a formar una secuencia exacta corta de groupoides, y la realización geométrica de esta secuencia es la $BH$ paquete que mencionas. $BH$ es un subgrupo cerrado (normal) de $BG$ por un resultado de Segal, por lo que lo único que hay que comprobar para que sea un fardo principal es que $BG \to B(G/H)$ admite secciones locales. Creo que esto es cierto porque los grupos implicados son discretos y, por tanto, bien delimitados - la inclusión de la identidad es una cofibración cerrada (un artículo de Baez y Stevenson tiene cálculos relevantes para grupos topológicos en un contexto diferente).