Intuitivamente, ¿por qué son tan importantes los paquetes en Física?

Question

He visto la noción de paquetes, haces de fibras , las conexiones en los paquetes, etc., que se utilizan en muchos lugares diferentes de la Física. Ahora, en matemáticas se introduce un haz para generalizar el producto topológico: describir espacios que globalmente no son productos pero que localmente sí lo son. En geometría utilizamos esta idea para introducir la noción de vectores en una variedad, etc.

Ahora bien, ¿cuál es la conexión de esta intuición matemática y la importancia que tienen los haces en la Física? La cuestión es que hay muchos objetos que vemos de forma natural cómo encajan en la Física: los manifolds intuitivamente se pueden ver como espacios abstractos en los que podemos poner coordenadas de forma suave y hacer cálculos, así que es muy natural que siempre que necesitemos coordenadas, probablemente habrá un manifold involucrado. Ahora bien, con los haces no consigo ver esta intuición.

Answer 1

Toda la física tiene dos aspectos: un aspecto local o incluso infinitesimal, y un aspecto global. Gran parte de la doctrina estándar se ocupa sólo de los aspectos locales e infinitesimales. perturbador aspectos_ y los haces de fibras juegan un escaso papel allí. Pero son la estructura más importante que gobierna la no perturbativo -- aspecto. Los paquetes son el global estructura de campos físicos y sólo son irrelevantes para la burda descripción local y perturbadora de la realidad.

Por ejemplo, los campos gauge en la teoría de Yang-Mills, por lo tanto en EM, en QED y en QCD, por lo tanto en el modelo estándar del universo conocido, no son realmente sólo las formas 1 locales $A_\mu^a$ conocidos por tantos libros de texto, pero son globalmente realmente conexiones en haces principales (o sus paquetes asociados) y esto es muy importante una vez que se pasa a no perturbativo La teoría de Yang-Mills, por tanto, a la historia completa, en lugar de su aproximación infinitesimal o local.

En particular, lo que se denomina un Instantáneo de Yang-Mills en general y el Instantón QCD en particular, no es más que la clase subyacente no trivial del haz principal subyacente al Yang-Mills campo de medición . En concreto, lo que los físicos llaman el número de instantones para $SU(2)$ -La teoría de galgas en 4 dimensiones es precisamente lo que matemáticamente se llama la segunda clase Chern , a " clase característica " de estos haces de galgas_

• YM Instanton = clase de haz principal subyacente al campo gauge no perturbador

Para apreciar la máxima relevancia de esto, obsérvese que el vacío no-perturbativo del mundo observable es un "mar de instantones" con aproximadamente un instantón YM por femto-metro al 4º. Véanse, por ejemplo, las primeras secciones de

• T. Schaefer, E. Shuryak, Instantones en QCD Rev.Mod.Phys.70:323-426, 1998 ( arXiv:hep-ph/9610451 )

para una revisión de este hecho. Así que la propia sustancia del mundo físico, el propio vacío que habitamos, está todo controlado por haces de fibras no triviales y es inexplicable sin ellos.

Del mismo modo, los haces de fibras controlan todos los demás aspectos topológicos no triviales de la física. Por ejemplo, la mayoría de los anomalías cuánticas son la afirmación de que lo que parece una acción función para alimentar la integral de trayectoria, es globalmente la sección de un haz no trivial -- especialmente un Haz de líneas de Pfaffian resultante de la integrales de trayectoria fermiónica . Además todo anomalías clásicas son declaraciones de no trivialización de ciertos haces de fibras.

De hecho, como muestra la discusión allí, la cuantización como tal, si se hace de forma no-perturbativa, consiste en elevar los datos de la forma diferencial a los datos del haz de líneas, esto se llama la haz de líneas precuánticas que existe sobre cualquier espacio de fase globalmente cuantificable y controla toda su teoría cuántica. Se refleja en muchos extensiones centrales que rigen la física cuántica, como el Grupo Heisenberg extensión central de la traslación hamiltoniana y, en general y de forma crucial, la grupo de quantomorfismo extensión central de los difeomorfismos hamiltonianos del espacio de fase. Todas estas extensiones centrales son haces de fibras no triviales, y el "quantum" en "cuantización" en gran medida una referencia a las clases características discretas (cuantizadas) de estos haces. En efecto, se puede entender la cuantización como la elevación de datos de formas diferenciales clásicas infinitesimales a datos de haces globales. Esto se describe en detalle en cuantificación -- Motivación de la mecánica clásica y la teoría de Lie .

Pero, en realidad, el papel de los haces de fibras es aún más profundo. La cuantización es sólo un cierto paso de extensión en la historia general, pero ya la teoría de campos clásica no puede entenderse globalmente sin una noción de haz. En particular, la propia formalización de lo que es un campo clásico realmente es dice: un sección de un paquete de campo . La naturaleza global de los espinores, por tanto estructuras de espín y su sutil efecto en la física de los fermiones son todos enocados por el correspondiente haces de espinores .

De hecho, dos aspectos de los haces en la física se unen en la teoría de los campos gauge y se combinan para producir haces de fibras superiores En concreto, hemos visto anteriormente que un campo gauge ya es en sí mismo un haz (con una conexión), y por lo tanto el haz del que un campo gauge es una sección tiene que ser un "haz de segundo orden". Esto se llama gerbe o 2 paquetes la única forma de realizar el campo de Yang-Mills tanto local como globalmente de forma precisa es considerarlo como una sección de un haz cuya fibra típica es $\mathbf{B}G$ El pila de módulos de $G$ -paquetes principales. Para más información, consulte el nLab en La idea tradicional de los paquetes de campo y sus problemas .

Todo esto se acentúa a medida que se profundiza en local teoría cuántica de campos, con la localidad formalizada como en la teorema del cobordismo que clasifica las teorías de campo topológicas locales. Entonces ya los Lagrangianos y funciones de acción local son ellos mismos conexiones superiores en haces superiores sobre la pila de moduli superior de los campos. Por ejemplo, la formulación totalmente local de la teoría de Chern-Simons exhibe el funcional de acción de Chern-Simons -con toda su invariancia gauge global correctamente realizada- como un círculo universal de Chern-Simons 3-bundle . Esto es tal que por transgresión a la codimensión inferior reproduce toda la estructura gauge global de esta teoría de campo, como por ejemplo en la codimensión 2 la WZW gerbe (que a su vez es un haz de 2 fibras: ¡el campo gauge de fondo del modelo WZW!), en codimensión 1 el haz de líneas precuánticas en el espacio de moduli de las conexiones cuyas secciones, a su vez, dan lugar al Paquete de Hitchin de bloques conformes en el espacio de moduli de las curvas conformes.

Y así sucesivamente. En resumen: toda la estructura global en la teoría de campos está controlada por los haces de fibras, y tanto más cuanto más la teoría de campos sea cuántica y gauge. La única razón por la que esto se puede ignorar hasta cierto punto es porque la teoría de campos es un tema complejo y quizás la mayoría de las discusiones sobre ella se refieren realmente sólo a un pequeño aspecto local perturbador de la misma. Pero esta no es la realidad. El vacío de la QCD que habitamos está lleno de un mar de paquetes no triviales y toda la estructura cuántica de las leyes de la naturaleza es teórica de paquetes en su propio corazón. Véase también cuantificación geométrica .

---

Para una versión ampliada de este texto con más indicaciones, véase en el nLab haces de fibras en física .

Answer 2

Permítame primero responder a su segunda pregunta sobre la intuición física detrás de los haces de fibras: Los haces de fibras (con grupos estructurales compactos) describen los grados de libertad internos, como el espín y el isospín, al igual que los las variedades describen los grados de libertad de traslación. Por ejemplo, (un se necesita un haz de fibras no trivial para describir la rotación de una partícula neutra que gira en un campo magnético).

La principal razón (histórica) por la que los haces de fibras se consideran indispensables en física es que describen las propiedades globales de los campos gauge. Las soluciones de solitones, como los instantones y los monopolos, se clasifican según las clases características de los haces de fibras. Estas soluciones no sólo son importantes en la teoría de campos clásica, sino también en la teoría de campos cuántica, debido al predominio de las soluciones clásicas en la integral de trayectoria. Véase, por ejemplo, lo siguiente revisar de L. Boi (especialmente la tabla 10.1 llamada diccionario Wu-Yang que explica la terminología de campo gauge vs. haz de fibras).

Un campo gauge que es una conexión en un haz de fibras sólo se describe localmente como un álgebra de Lie valorada de una forma. Aunque esta representación se utiliza en la formulación de los distintos funcionales de acción en la teoría cuántica de campos, hay que recordar siempre que esta formulación es sólo local. Se trata de una especie de notación abreviada similar al uso de coordenadas en la descripción de las acciones de las partículas en las variedades, sabiendo que esta descripción sólo es local en una carta y siempre hay que recordar que esta descripción es sólo local.

Ahora bien, estas soluciones topológicamente no triviales no se observan (¿todavía?) en el modelo estándar de la física de partículas, sin embargo como uno de los fundadores de la teoría cuántica de los campos gauge (Roman Jackiw) afirma Estos efectos y sus consecuencias, como la fraccionalización del espín, ya se observan en el laboratorio en sistemas de materia condensada.

Sin embargo, esta no es toda la historia, porque la teoría de los haces de fibras ha encontrado multitud de aplicaciones en física más allá de la teoría de Yang-Mills:

En primer lugar, aparecen en las teorías geométricas de la gravedad, (haces de tramas, conexiones de espín). De hecho, un campo de Dirac no puede acoplarse a la gravedad sin la introducción de haces de fibras.

En la cuantización geométrica, los estados físicos son secciones de haces de línea.

Las anomalías pueden formularse como obstáculos a la existencia de secciones globales en haces determinantes (relacionados con los términos de WZW).

Los fermiones en espacios curvos se describen mediante secciones de haces de espinores.

Los espacios de módulos de las conexiones planas definen variedades cuantificables con una interesantes de la teoría cuántica. Estas conexiones planas son las soluciones clásicas soluciones clásicas de las teorías de Chern-Simons.

Las fases de Berry describen holonomías de conexiones en haces de fibras.

Los campos de Higgs se describen mediante secciones de haces vectoriales.

Los haces de fibras son necesarios en la descripción de los sistemas flexibles clásicos sistemas flexibles clásicos, esto es conocido por "La teoría gauge del gato que cae" por Richard Montgomery .

Answer 3

La geometría del espacio-tiempo (fondo) contiene mucha información sobre un sistema determinado, pero no toda la información. La información que no contiene es la información "interna". Las simetrías son transformaciones que no aportan ninguna información nueva sobre el sistema, por lo que son las transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones

La física se describe en términos de campos sobre algún espacio de dominio. El espacio de dominio suele ser algo muy geométrico. Las simetrías externas son simetrías en el espacio de dominio que para una teoría relativista es el espacio-tiempo de Minkowski.

Se estudia una simetría del sistema en función de las variaciones de estos campos. Sea $\mathcal{F}(M,\mathcal{A})=\{\Phi^\alpha\}_{\alpha\in I}$ sea el conjunto de campos de con el espacio de dominio $M$ y alcance $\mathcal{A}$ . En el caso de los campos cuánticos, el espacio de alcance $\mathcal{A}$ es el espacio de todos los operadores sobre algún espacio de Hilbert relevante. Una variación externa es una variación en el dominio $M$ del campo. Si $\Phi\in \mathcal{F}$ es un campo. Una variación externa del campo $\Phi$ es de la forma, $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x}+\delta \textbf{x})$$ Dejemos que $\Gamma$ sea un grupo de Lie de simetrías externas. Su acción sobre los campos viene dada por la representación del grupo $\Gamma$ en un espacio de Hilbert relevante. Si $\textbf{x}\to\Lambda \textbf{x}$ es una transformación de simetría del espacio de dominio, entonces la acción de la transformación correspondiente sobre los campos viene dada por $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\Lambda \textbf{x})$$ Si la transformación $\Lambda$ depende del dominio entonces se llama transformación local ya que la variación depende de la localidad. Si no depende de la localidad entonces la transformación se llama transformación global. Las transformaciones del campo que varían el campo dejando el espacio del dominio sin cambios son las variaciones internas. Una variación interna es una variación en el espacio de rango $\mathcal{A}$ . Para un campo $\Phi\in F$ una variación interna es de la forma $$\Phi(\textbf{x})\to \Phi(\textbf{x})+(\delta\Phi)(\textbf{x})$$ Supongamos que $\mathcal{G}$ es el grupo de Lie de las simetrías internas con su acción sobre el espacio de alcance $\mathcal{A}$ dado por $r\to U\cdot r$ . Entonces, dejando que $r=\Phi(\textbf{x})\in \mathcal{A}$ la acción correspondiente del grupo $\mathcal{G}$ en los campos viene dada por, $$\Phi(\textbf{x})\mapsto U \cdot\Phi(\textbf{x})$$ Si el grupo de transformaciones de $\mathcal{F}$ no depende de los puntos del dominio, entonces el grupo se llama grupo global de simetrías internas asociado a $\mathcal{G}$ . Si el grupo depende de la ubicación o de los puntos del dominio $M$ se denominan grupo local de simetrías internas.

El propósito de una teoría gauge es geometrizar tal situación. Necesitamos integrar el grupo de Lie de las simetrías internas locales en la teoría, de forma que en cada punto del espacio de dominio se asocie un elemento del grupo de Lie. Para integrar un grupo de simetría gauge con el espacio-tiempo de fondo, se introduce una variedad madre mayor. Esta matriz contiene información sobre el grupo gauge y el fondo. Esta construcción geométrica es el haz principal. Por lo tanto, la teoría gauge es el estudio de los haces principales.

Answer 4

He encontrado que los haces de fibras son una forma útil de imaginar en mi mente cualquier teoría de la gravedad cuántica que dependa del fondo. tales imágenes pueden ayudar a destilar un argumento matemático hasta su esencia, que es cuando realmente comienza la comprensión.

Un ejemplo sencillo podría ser la supersimetría n=1, aquí tenemos la transformación del grupo del superespacio;

$$G({x^\mu },\xi ,\bar \xi ) = \exp i(\xi Q + \bar \xi \bar Q - {x^\mu }{P_\mu }) % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4raiaacI % cacaWG4bWaaWbaaSqabeaacqaH8oqBaaGccaGGSaGaeqOVdGNaaiil % aiqbe67a4zaaraGaaiykaiabg2da9iGacwgacaGG4bGaaiiCaiaadM % gacaGGOaGaeqOVdGNaamyuaiabgUcaRiqbe67a4zaaraGabmyuayaa % raGaeyOeI0IaamiEamaaCaaaleqabaGaeqiVd0gaaOGaamiuamaaBa % aaleaacqaH8oqBaeqaaOGaaiykaaaa!5307! $$ con $${x^\mu } % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEamaaCa % aaleqabaGaeqiVd0gaaaaa!38D6! $$ un punto en el espaciotiempo (localmente) plano. una imagen de esto es un espacio de fibras de variables de grssmann como un tallo rooteado en el punto del espaciotiempo.