Mostrar$\{x\} + \{\frac{1}{x}\} \lt 1.5$ y otros problemas.

Question

Para cualquier número real $x$, vamos a $[x]$ ser el mayor entero que no excede $x$. También definimos $\{x\}=x-[x]$. Ahora podemos definir la función:

$f(x)=\{x\}+\{\frac{1}{x}\}$.

(a) Probar que $f(x)<1.5$$x>0$, e $f(x)<2$$x<0$.

(b) Probar que existe un número real $\alpha $ tal que $f(\alpha)>\frac{ 4001}{2001}$.

Ir a través de los casos estoy convencido de (una). Pero, ¿cómo se prueban de manera concluyente?

(b) presentan más retos, pero no nos muestran la existencia sin encontrar {un} valor{s}? O necesitamos encontrar el valor de $\alpha$?

Answer 1

Si $x = n+f$ donde $n \ge 1$ (wlog) y $0 \lt f \lt 1$, $\{\frac{1}{x}\} = \frac{1}{x}$

$$\{x\} + \{\frac{1}{x}\} = f + \frac{1}{n+f}$$

lo que es un aumento (y continua) de la función de $f$$(0, 1])$$n \ge 1$.

Esto se puede demostrar mediante la consideración de $f(t) = n+t + \frac{1}{n+t}$, sólo $t + \frac{1}{t}$ in disguise (y tenemos $t \ge 1$ para nuestros propósitos).

El máximo se produce cuando se elige $n=f=1$, y desde $f$ nunca $1$, la desigualdad es estricta.

Un argumento similar puede probablemente ser el caso de $x \lt 0$, y la continuidad de los argumentos de la voluntad de mostrar la existencia sin tener que construir uno.

Answer 2

Para (B) :

Prueba por ejemplo:

ps

Vea aquí y luego aquí para convencer. Tenga en cuenta que esto no es ciertamente una prueba muy esclarecedora.