Crear una región de captura para Lorenz Attractor

Question

Me gustaría mostrar que la cantidad:

$-2\sigma\left(rx^{2}+y^{2}+b\left(z-r\right)^{2}-br^{2}\right)$

es negativo en la superficie:

$rx^{2}+\sigma y^{2}+\sigma\left(z-2r\right)^{2}=C$

para un valor suficientemente grande de$C$.

No pude masajear la primera cantidad para que parezca la segunda. También consideré un cambio de coordenadas, pero no tuve suerte. $\sigma, b, r$ son parámetros positivos.

Este es un paso en el ejercicio 9.2.2 de Strogatz Dinámica no lineal y caos.

Answer 1

Dado que el parámetro de $\sigma$ es positivo, la cantidad $$ -2\sigma \left ( rx^2 + y^2 + b(z-r)^2 - br^2 \right ) $$ es negativo si $$ rx^2 + y^2 + b(z-r)^2 > br^{2}. $$ Esta desigualdad se define en el exterior de un elipsoide ( $E_1$ ); tenga en cuenta que el tamaño de este elipsoide es fijado por los parámetros (es una sugerencia).

Ahora la ecuación $$ rx^2 + \sigma y^2 + \sigma \left ( z - 2r \right )^2 = C $$ define diferentes elipsoide, $E_2$, el tamaño de la que es determinada por su elección de $C$ (otra pista).

En este punto, recordar qué es lo que quieres mostrar. Normalmente, el objetivo es mostrar que existe una $C$ tal que $E_2$ define un reventado de la región para las ecuaciones de Lorenz, en cuyo caso es suficiente para mostrar que $E_2$ puede hacerse lo suficientemente grande para que contenga $E_1$. No hay realmente ningún cálculo adicional necesario para hacer esto, usted sólo tiene que entender lo que hemos hecho hasta ahora.

Una relacionada (pero diferentes) cuestión es encontrar un explícito el límite inferior de $C$ en términos de los parámetros. En este caso, usted puede encontrar límites en cada uno de $x$, $y$, y $z$ por separado para los puntos dentro de $E_1$. Esto le dará entonces un límite en la cantidad $$ rx^2 + \sigma y^2 + \sigma \left ( z - 2r \right )^2 $$ que a continuación se define $C$.

Answer 2

Simplemente simplificando:

$-2\sigma\left(rx^{2}+y^{2}+b\left(z-r\right)^{2}-br^{2}\right) < 0$

$=> rx^{2}+y^{2}+b\left(z-r\right)^{2}-br^{2} > 0 ... \sigma > 0$

$=> rx^{2}+y^{2}+bz^{2}-2brz+br^{2}-br^{2} > 0 $

$=> rx^{2}+y^{2}+bz^{2}-2brz > 0 $

$=> rx^{2}+y^{2}+bz^{2} > 2brz $

$=> z<=0$ o$z>=2r$ para cualquier$C$ o

$ rx^{2}+y^{2} > 2brz - bz^{2}, 0<z<2r $

Ahora, $rx^{2}+\sigma y^{2}+\sigma\left(z-2r\right)^{2}=C$

$=> rx^{2}+y^{2}+(\sigma-1) y^{2}+\sigma\left(z-2r\right)^{2}=C$

$=> rx^{2}+y^{2}= C -(\sigma-1) y^{2}-\sigma\left(z-2r\right)^{2}$

Así que la expresión original es negativa cuando$z$ está fuera de$(0,2r)$ o

$ 2brz - bz^{2} < C -(\sigma-1) y^{2}-\sigma\left(z-2r\right)^{2}, 0<z<2r $

$=> bz(2r - z) < C -(\sigma-1) y^{2}-\sigma\left(z-2r\right)^{2}, 0<z<2r $

$=> 0 < C -(\sigma-1) y^{2}-\sigma\left(z-2r\right)^{2}+bz(z - 2r), 0<z<2r $

$=> 0 < C -(\sigma-1) y^{2}-\sigma\left(z(1-b/2)-2r\right)^{2}+(bz/2)^{2}, 0<z<2r $ ... completando el cuadrado