Mayor número de aviones que podemos obtener al dividir con líneas y círculos

Question

¿Cuál es el mayor número de partes de un plano se puede dividir en$n$ líneas rectas infinitas? ¿Qué hay de$n$ de círculos?

¿Se puede generalizar esto en espacio tridimensional, planos y esferas?

Para líneas, conseguí$U_{n+1}=U_n+n,$ with$U_0=1.$ Y para los círculos, conseguí$U_{n+1}=U_n+2n,$ con$U_0=1$ y$U_1=2.$

¿Estoy bien hasta ahora?

Answer 1

Líneas

Para un avión con $n$ líneas, considere lo que sucede cuando se agrega una línea. Se divide a todas las regiones a través de la cual pasa a dos, por lo tanto la adición de una región por cada región que atraviesa. El número de regiones que pasa a través de es el número de líneas que cruza más uno, que es el número de puntos que crea más uno para sí mismo. Por lo tanto, el número de regiones añadido a la original, $\binom{n}{0}$, es el número de puntos, $\binom{n}{2}$, más el número de líneas, $\binom{n}{1}$. Por lo tanto, el número máximo de regiones es $$ \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}=\frac{n^2+n+2}{2} $$

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Los círculos

Para un avión con $n$ círculos, considere lo que sucede cuando se agrega un círculo. Se divide a todas las regiones a través de la cual pasa a dos, por lo tanto la adición de una región por cada región que atraviesa. El primer círculo se divide el plano en dos. El número de regiones que pasa a través de al menos uno, si no intersecta con ningún otro de los círculos, y hasta el número de cruces con otros círculos. Para $n$ círculos no puede ser de hasta a $2\binom{n}{2}$ cruces. Por lo tanto, el primer círculo se divide el plano en dos, $2\binom{n}{0}$, luego el resto de los círculos de agregar el número de cruces. Por lo tanto, el número máximo de regiones es $$ 2\binom{n}{0}+2\binom{n}{2}=n^2-n+2 $$

Answer 2

si el plano se divide por líneas, la función de recursión es$R(n+1)=R(n)+n+1$, donde$R(0)=1$,$n\geq0$ Resolución recurrencia$R(n)=\frac{(n^2+n+2)}{2}$
si el plano es dividido por círculos, la función de recursión es$R(n+1)=R(n)+2n$, donde$R(1)=2$,$n>0$ Resolución recurrencia$R(n)=(n^2-n+2)$

Answer 3

Para un plano dividido por líneas:$$l_{n+1}=l_{n}+n+1$ $

Para espacio dividido por planos:$$s_{n+1}=s_{n}+l_{n}$ $