Cómo podemos calcular $(x^x)'$

Question

Sabemos que $(x^{n})' = nx^{n - 1}$ y $(n^{x})' = n^{x}\ln n$.

Mi pregunta es: ¿Cómo puede calcular la formula de $x^x$?

Qué dices:

¿ $$\left (x ^ {x ^ {{\begin{array}{ccc} &\;&.\cdot^.\\ &n\; times & \\ .\cdot^. & & \; \end{matriz}} ^ x}} \right)' =?$$

¿Hay alguna manera de encontrar una fórmula general?

Cuando $n$ 2, tenemos $x^x$. Si n es 3, tenemos a $x^{x^x}$ y así sucesivamente.

Answer 1

No me refiero a llevar esta cuestión a la vuelta de entre los muertos, pero Elias", la respuesta es bastante malo, y Anders parece haber sido sólo un aviso, pero fue ignorado. Prueba cualquiera de $n=1,2,3$, por ejemplo, todos dan respuestas incorrectas, así que voy a dar mi propia respuesta, que es un enfoque similar.

Un poder torre con $n$ $x$total de s puede ser descrito por $n\in\mathbb{N}^0$ $$\varphi_{n}(x)= \left\{ \begin{array}{rcl} 1, & \mbox{ if } & n=0\\ x^{\varphi_{n-1}(x)}, & \mbox{ if } & n> 0 \end{array} \right.$$ Entonces $$\log{\varphi_n(x)}=\varphi_{n-1}(x) \log(x)$$ $$\implies\varphi_n'(x)=\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)}{x}+\varphi_n(x)\varphi_{n-1}'(x)\log(x)$$ Recursivamente usando esta identidad, $$\varphi_n'(x)=\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)}{x}+\varphi_n(x)\left(\frac{\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}(x)}{x}+\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}'(x)\log(x)\right)\log(x)$$ $$=\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)}{x}+\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}(x)\log(x)}{x}+\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}'(x)\log^2(x)$$ $$=\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)}{x}+\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}(x)\log(x)}{x}+\frac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}(x)\varphi_{n-3}(x)\log^2(x)}{x}+\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(x)\varphi_{n-2}(x)\varphi_{n-3}'(x)\log^3(x)$$ Continuar este patrón, se han $$\varphi_n'(x)=\frac1x\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{i=0}^k\varphi_{n-i}(x)\right)\log^{k-1}(x)$$

Nota: Si tenemos un poder infinito de la torre, nos tienen esencialmente $\varphi_n(x)=\varphi_{n-1}(x)$, de modo que la derivada de una potencia infinita de la torre es $$\varphi_\infty'(x)=\frac1x\sum_{k=1}^{\infty}\left(\prod_{i=0}^k\varphi_{\infty}(x)\right)\log^{k-1}(x)=\frac1x\sum_{k=1}^{\infty}\varphi_{\infty}^{k+1}(x)\log^{k-1}(x)$$ $$\frac{\varphi_{\infty}^2(x)}{x}\sum_{k=0}^\infty\left(\varphi_\infty(x)\log(x)\right)^k=\frac{\varphi_{\infty}^2(x)}{x\left(1-\varphi_{\infty}(x)\log(x)\right)}$$ Esto es válido para todos los $x$ tal que $\varphi_\infty(x)$ es finito (que es el intervalo de $[e^{-e},e^{\frac1e}]$), debido a que en ese intervalo, $\left| \varphi_\infty(x) \log(x)\right|=\left|W(-\log(x))\right|\leq 1$, con igualdad sólo en los extremos, por lo que la serie anterior converge.

Answer 2

Simplemente combinas las dos fórmulas que ya mencionaste para obtener:

$$(x^x)'=(x^n)'_{n=x}+(a^x)'_{a=x}=(nx^{n-1})_{n=x}+(a^x\ln a)_{a=x}=x\cdot x^{x-1}+x^x\ln x=x^x(1+\ln x)$$

Answer 3

Answer 4

Que $f, g$ ser cualquier función. Que $y = f^g \implies \ln y = g \ln f$

$$\therefore \frac{y'}{y} = g' \ln f + g\frac{f'}{f} \implies \frac{ df^g}{dx}= y' = f^g ( f' \ln f + \frac{g f'}{f} )$$

Utilizando esta fórmula con $f = x = g$ da la resuld deseada.

En general, if $y = x^{x^{..^{x^{x^x}}}} \implies y = x^y \implies \ln y = y \ln x$

$$\therefore \frac{y'}{y} = y' \ln x + \frac{y}{x} \implies y' ( \frac{1}{y} - \ln x) = \frac{y}{x} \implies y' = \frac{y^2}{x(1 -( \ln x )y )}$$

En otras palabras,

$$( x^{x^{..^{x^{x^x}}}} )' = \frac{ ( x^{x^{..^{x^{x^x}}}})^2}{x( 1 - ( \ln x) x^{x^{..^{x^{x^x}}}} ) }$$

Answer 5

Este es mi planteamiento:

$${ x }^{ x }={ e }^{ y }\\ x\ln { x } =y\\ { \left( { x }^{ x } \right) }'=y'{ e }^{ y }=\left( 1+\ln { x } \right) { e }^{ y }=\left( 1+\ln { x } \right) { x }^{ x }\\ $$ $$\\ {x} ^ {{x} ^ {x}} = {e} ^ {z} \\ {x} ^ {x} \ln {x} = z\\ {\left ({x} ^ {{x} ^ {x}} \right)} '= z' {e} ^ {z} = \left ({\left ({x} ^ {x} \right)}'\ln {x} + {x} ^ {x-1} \right) {e} ^ {z} = \left (\left (1 + \ln {x} \right) {x} ^ {x} \ln {x} + {x} ^ {x-1} \right) {x} ^ {{x} ^ {x}} \\ $$ $%$ ${ x }^{ { x }^{ { x }^{ x } } }={ e }^{ w }\\ { x }^{ { x }^{ x } }\ln { x } =w\\ { \left( { x }^{ { x }^{ { x }^{ x } } } \right) }'=w'{ e }^{ w }=\left( { \left( { x }^{ { x }^{ x } } \right) }'\ln { x } +{ x }^{ { x }^{ x }-1 } \right) { e }^{ w }=\left( \left( \left( \left( 1+\ln { x } \right) \ln { x } { x }^{ x }+{ x }^{ x-1 } \right) \right) { x }^{ { x }^{ x } }\ln { x } +{ x }^{ { x }^{ x }-1 } \right) { x }^{ { x }^{ { x }^{ x } } }$