Cómo calcular $\lim_{x\to\infty}\frac{7x^4+x^2 3^x+2}{x^3+x 4^x+1}$ ?

Question

$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^4+x^2 3^x+2}{x^3+x 4^x+1}$$

Parece que no puedo encontrar la manera de deshacerse de la $3^x$ y $4^x$ y luego resolverlo.

Answer 1

$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^4+x^2 3^x+2}{x^3+x 4^x+1}$$

La forma más intuitiva de resolver este límite es entender cómo las gráficas de $b^x, b>0$ y cómo los gráficos de $x^2, x^3,x^4,\dots$ mira.

Cuando se alcanzan valores cada vez más altos de $x$ , $9999999^2\times3^{9999999}(x^23^x)$ es mucho más grande entonces $9999^4(7x^4)$ y $9999999\times 4^{9999999}(x4^x)$ es mucho más grande que $9999999^3(x^3)$ .

Por lo tanto, los términos $x^23^x$ y $x4^x$ "dominar" como $x\to\infty$ y, por lo tanto, podemos "simplificar" esto básicamente de la siguiente manera:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{7x^4+x^2 3^x+2}{x^3+x 4^x+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^23^x}{x4^x}=\lim_{x\to\infty}x(\frac{3}{4})^x$$

También es un hecho común que $\lim_{x\to\infty}(\frac{a}{b})^x$ , donde $a<b$ Este límite es $0$ . (también ayuda conocer este gráfico)

Por lo tanto, vemos que el $(\frac{3}{4})^x$ término va a $0$ o un número muy pequeño. Así, $x$ que es enorme, multiplicado por un número realmente pequeño, es también un número muy muy pequeño, y como probablemente puedes adivinar, este número tiende a acercarse cada vez más a $0$ .

La razón por la que te lo digo así y no con matemáticas propiamente dichas es porque las matemáticas son un poco complicadas con $e$ y $\ln$ y si puedes entenderlo así, te ayudará mucho en tu vida en el futuro.

De esta manera no necesitas "deshacerte" de nada.

Answer 2

pista

factor por $x^23^x $ en el numerador para obtener

$$x^23^x \Bigl (1+\frac {2}{x^23^x}+7e^{x (2\frac {\ln (x)}{x}-\ln (3))} \Bigr)$$

para el denominador, factorizar por $x4^x$ como

$$x4^x\Bigl ( 1+\frac {1}{x4^x}+ e^{x (2\frac {\ln (x)}{x}-\ln (4))} \Bigr) $$

El límite será $$\lim_{\infty}xe^{x (\ln (3)-\ln (4))}=$$

$$\lim_{\infty}e^{x(\ln (3)-\ln (4)+\frac {\ln (x)}{x})}=0$$

Answer 3

Utilice equivalentes : $$\begin{aligned} 7x^4+x^2\, 3^x+2&\sim_\infty x^2 3^x\\ x^3+x\,4^x+1&\sim_\infty x\,4^x \end{aligned}\quad\text{hence}\quad\frac{7x^4+x^2\, 3^x+2}{x^3+x\,4^x+1}\sim_\infty\frac{ x^2 3^x}{ x\,4^x}=x\Bigl(\frac34\Bigr)^{\!x}\to 0.$$

Answer 4

Dividir el numerador y el denominador por $x4^{x}$ y entonces se deduce del límite estándar $$\lim_{x\to\infty} \frac{x^{n}}{a^{x}} = 0, a > 1\tag{1}$$ que el numerador tiende a $0$ y el denominador tiende a $1$ . Por lo tanto, el límite deseado es $0$ .

Uno puede preguntarse: ¿por qué dividir por $x4^{x} $ ? Porque ese es el término que crece a $\infty$ mucho más rápido que cualquier otro término. Para ser precisos, la relación entre cualquier otro término y este término tiende a $0$ mediante la ecuación $(1)$ arriba.

Answer 5

Dejemos que $K>1$ sea una constante. Sea $y = K^x$ . Entonces $\ln y = x \ln K$ . Así que $\dfrac{y'}{y} = \ln K$ . Por lo tanto, $$\frac{d}{dx}K^x = \ln(K) K^x \tag 1$$ .

Para comprobar la realidad, tenga en cuenta que esto le da $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ .

Utilizando la regla de L'Hospital, vemos que $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x}{K^x} = \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{\ln(K)K^x} = 0$ . Utilizando la inducción, vemos que $$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\dfrac{x^n}{K^x} = 0 \tag 2$$

\begin {align} \lim_ {x \to \infty } \frac {7x^4+x^2\, 3^x+2}{x^3+x\,4^x+1} &= \lim_ {x \to \infty } \frac { \dfrac {7x^3}{4^x} + \dfrac {x}{ \left ( \frac 43 \right )^x} + \dfrac {2}{4^x}} { \dfrac {x^2}{4^x} +1 + \dfrac {1}{x 4^x}} = 0 \end {align}