Según los resultados preliminares, en sentido general las reducciones en materia de empleo, de llegar a producirse, serían graduales.

Question

Paso uno: para el caso en que $n=6$

$$7n <2^n$$ $$7(6)<2^6 \rightarrow 42<64$$.

Paso dos: Supongamos que para $n$ tal que $7n<2^n$ es cierto. Probar ahora para $n+1$

$$(2)7n<(2)2^n$$ $$14n<2^{n+1}$$

Pero desde $n<7n<2^n$,$n+7<7(n+1)<2^n+7<2^{n+1}(?)$.

A continuación, $7(n+1)<2^{n+1}$

Soy nuevo en este proceso de inducción, por lo que cualquier ayuda/consejos para este problema sería muy apreciada.

Answer 1

Vamos a demostrar la afirmación por inducción en $n$.

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La afirmación es verdadera para $n=6$. $\checkmark$
Supongamos que la afirmación es verdadera para $k=n$; $\color{Blue}{7n<2^n}$.
en el otherhand sabemos que $\color{Red}{7}<42\leq7n<\color{Red}{2^n}$; por lo tanto tenemos :
$$ \color{Verde}{7(n+1)}= \color{Blue}{7n} + \color{Red}{7} < \color{Blue}{2^n} + \color{Red}{2^n} = \color{Verde}{2^{n+1}} ,$$ así que la afirmación es verdadera para $\color{Green}{k=n+1}$.

Answer 2

Se hizo una muy buena de comenzar.

Yo sólo no veo por qué usted necesita $n+7 < 7(n+1)$.
Usted necesidad justa de $7(n+1) < 2^n+7 < 2^{n+1}$ y listo.

Marcó $2^n+7 < 2^{n+1}$ con un signo de interrogación. Sin duda es algo que usted debe probar. En general, cuando no se vea de inmediato por qué algo es cierto, hay que probarlo. Usted puede hacer esto mediante la sustracción de $2^n$ desde ambos lados. Puesto que usted pida una sugerencia, me escondí la respuesta completa a continuación.

Desde $n\geq 6$,$2^n \geq 64 > 7$, lo $2^n+7 < 2^n + 2^n = 2^{n+1}$.

Answer 3

$$2^n-7n=(1+1)^n-7n>1+n+\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-7n=$$ $$=\frac{n^3-37n+6}{6}=\frac{(n-6)(n^2+6n-1)}{6}\geq0.$$ Hecho!

Answer 4

usted tiene que mostrar: $$2^{n+1}>7(n+1)$$ multiplying $$2^n>7n$$ by $2$ tenemos $$2^{n+1}>14n$$ and it is $$14n>7n+7$$ and this is true since $$n\geq 6$$

Answer 5

$2^n=(1+1)^n=2+2n+n(n-1)+f(n)>n(n+1)$, ya que el $f(n)>0$ $n\geq 3$

Desde $n\geq 6$, $2^n>n(n+1)\geq 7n\space\space\space\blacksquare$