Determinar todos los pares $(a,b)$ de enteros positivos tales que $ab^2+b+7$ divide a $a^2b+a+b$

Question

Determina todos los pares $(a, b)$ de enteros positivos tales que $ab^2 + b + 7$ divide a $a^2b + a +b$.

Creo que la solución trivial es $a=b=7$. También cualquier $a$ y $b$ que sean divisibles por $7$ parecen funcionar. También podemos escribir $b(\frac{a}{b}+1+\frac{7}{b}) \cdot x=a\cdot(ab+1+\frac{b}{a})$ De donde todos los $a, b$ que satisfacen: $\frac{b^2}{a}=7$ y $a>b$, están bien.

¿Es mi solución completa y total? ¿Hay alguna otra solución?

Answer 1

$$%%ab^2 + b + 7 \ | \ a^2b + a + b$$

Sabemos que:

$$ ab^2 + b + 7 \ | \ a(ab^2 + b + 7) = a^2b^2+ab+7a ; $$

$$ ab^2 + b + 7 \ | \ b(a^2b + a + b) = a^2b^2+ab+b^2 ; $$

entonces podemos concluir $$ ab^2 + b + 7 \ | \ \Big[ a(ab^2 + b + 7) - b(a^2b + a + b) \Big] \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow \\ ab^2 + b + 7 \ | \ \Big[ (a^2b^2+ab+7a) - (a^2b^2+ab+b^2) \Big] \Longrightarrow \\ ab^2 + b + 7 \ | \ 7a - b^2 \ \ \ \ \ \color{Blue}{\star} $$

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Primer caso: $7a-b^2=0$; lo que implica que existe un entero $n$; tal que: $$(a,b)=(7n^2,7n);$$ se puede comprobar que $(a,b)=(7n^2,7n)$ satisface en;
la condición de divisibilidad $ab^2 + b + 7 \ | \ a^2b + a + b$.

Segundo caso: $0 < 7a-b^2 $; nota que $\color{Red}{0} < (b+\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{27}{4} = \color{Red}{b^2+b+7}$,
por lo tanto en este caso tenemos: $$ ab^2 + (b + 7) < |ab^2 + b + 7| < 7a-(b^2) \Longrightarrow \\ ab^2 + \color{Red}{0} < ab^2 + \color{Red}{(b^2 + b + 7)} < 7a \Longrightarrow ab^2 < 7a \Longrightarrow \\ b^2 < 7 \Longrightarrow b=1 \ \ \text{o} \ \ b=2 . $$

• Si $b=1$; entonces al reemplazar en $\color{Blue}{\star}$ obtenemos: $a + 8 \ | \ 7a - 1 $,
  por otro lado tenemos: $a + 8 \ | \ 7(a + 8) $,
  por lo tanto podemos concluir que $a + 8 \ | \ 57 $,
  lo que nos da las dos posibilidades $a=11$ y $a=49$;
  se puede comprobar que cada uno de los pares $(a,b)=(11,1)$ y $(a,b)=(49,1)$ satisface la condición de divisibilidad.

• Si $b=2$; entonces al reemplazar en $\color{Blue}{\star}$ obtenemos: $4a + 9 \ | \ 7a - 4 \ | \ 4(7a - 4) = 28a - 16 $,
  por otro lado tenemos: $4a + 9 \ | \ 7(4a + 9) = 28a + 63 $,
  por lo tanto podemos concluir que $4a + 9 \ | \ 79 $,
  lo que no nos da ninguna posibilidad para $a$.
  [Nota que $79$ es un número primo.]

Tercer caso: $7a-b^2 < 0$; nota que en este caso $0 < a$,
por lo tanto tenemos: $$ ab^2 + b + 7 < |ab^2 + b + 7| < b^2-7a \Longrightarrow \\ \color{Red}{0} < (a-1) \Bigg[ b + \dfrac{1}{2(a-1)} \Bigg]^2 + (7a-\dfrac{1}{4(a-1)}+7) = (ab^2 + b + 7) + (7a-b^2) < \color{Red}{0} ; $$ lo cual es una $\color{Red}{\text{contradicción}}$ obvia; por lo tanto no hay solución en este caso.

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Entonces las soluciones son las siguientes:
$$ (11,1), \ (49,1) \ \ \text{y} \ \ (7n^2,7n) \ \ \text{para cualquier} \ \ n \in \mathbb{N} . $$

Answer 2

Primero trataremos los casos cuando $b=1,2,3,4,5,6$ y luego podemos asumir que $b \geq 7$,

Para el caso $b=1$ obtenemos que $a+8 | a^2+a+1$ lo que significa $a(a+8) +r = a^2+a+1$ y queremos que $r=0 \mod a+8$ por lo que resolviendo lo anterior tenemos que $r = 1 - 7 a$ así que queremos que $a+8|1-7a$ lo que significa que $-7(a+8)+r = 1-7a$ y queremos $r=0 \mod a+8$ entonces resolviendo lo anterior obtenemos que $r = 57 \mod a+8$.

Ahora $57=3*19$ así que $3=0 \mod a+8$ o $19 = 0 \mod a+8$ o $57 = 0 \mod a+8$ al resolver estas ecuaciones se obtiene que $(11,1)$ y $(49,1)$ son soluciones.

Haciendo lo mismo para $b=2,3,4,5,6$ se obtiene que no hay soluciones.

Ahora podemos asumir $b \geq 7$, además $a \geq b \geq 7$, porque si permitimos que $a< b$ y $a b^2 +b +7 < a^2 b+a+b$ llegaremos a una contradicción llegando a $a \geq b-\frac{1}{7}$ y como $a,b$ son enteros obtenemos que $a\geq b$.

Dividiendo la ecuación por $a b$ obtenemos que $(b+\frac{1}{a}+\frac{7}{ab})x = a+\frac{1}{a} +\frac{1}{b}$ lo cual es simplemente $b x +\frac{x}{a}+ \frac{7x}{ab} = a+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

Ahora sabemos que $\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \leq \frac{2}{7}<1$ así que asumiendo que $\frac{x}{a}+ \frac{7x}{ab} <1$ debemos tener que $a = b x$ sustituyendo eso obtenemos que $b=7x$ entonces $a = b x = 7x x = 7x^2$ para todo $x \geq 1$.

Ahora, ¿qué pasa si $\frac{x}{a}+ \frac{7x}{ab}\geq y \geq 1$ obtenemos que $a= b x+y$ sustituyendo obtenemos que $\frac{7 x}{b (b x+y)}+\frac{x}{b x+y}+b x = \frac{1}{b x+y}+b x+\frac{1}{b}+y$ lo cual es $\frac{7 x}{b (b x+y)}+\frac{x}{b x+y}-\frac{1}{b x+y}-\frac{1}{b}-y=0$ resolviendo para $x$ obtenemos que $x =\frac{-b y^2-b-y}{b^2 y-7}$ Ahora ya que $b \geq 7 $ y $y \geq 1$ el denominador es no negativo y el numerador es negativo así que $x$ es negativo lo cual es una contradicción entonces,

las soluciones $(11,1),(49,1),(7x^2,7x)$ para todo $x\geq 1$ son las únicas soluciones.