Motivación del espectro de una categoría abeliana

Question

En su libro Geometría algebraica no conmutativa y representaciones de álgebras cuantizadas , Rosenberg define (III.1.2 en la página 111) el espectro de una categoría abeliana $\mathbf{A}$ de la siguiente manera. Primero define un preorden $\succ$ en $\operatorname{Ob}(\mathbf{A})$ declarando que

$V\succ W$ si $W$ es un subcociente de un coproducto de un número finito de copias de $V$ .

Escribamos $V\sim W$ si $V\succ W$ y $W\prec V$ (mi notación, no la suya---él sólo dice "equivalente con respecto a $\succ$ "). A continuación define

$$\operatorname{Spec}(\mathbf{A}):=\left\{ V\in \operatorname{Obj}(\mathbf{A}):V\neq 0\text{ and }V\sim W\text{ for all nonzero subobjects }W\text{ of }V\text{.}\right\}$$

Mi pregunta es simplemente "¿Por qué?": de todas las posibles definiciones que uno podría escribir, ¿por qué ésta?

No me queda nada claro cuál se supone que es la intuición de esta definición. ¿Qué "significa" realmente?

Answer 1

La motivación básica de esta definición es que si $\mathbf{A}$ es la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo $R$ entonces el $\sim$ -clases de equivalencia de $\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ están naturalmente en biyección con el espectro del anillo $R$ . Se trata, pues, de una generalización del espectro de un anillo conmutativo que puede definirse para cualquier categoría abeliana.

En efecto, supongamos $R$ es un anillo conmutativo y $\mathbf{A}$ es la categoría de $R$ -módulos. Entonces para cualquier $V\in\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ , $V\sim W$ para cada submódulo cíclico no nulo $W$ de $V$ y $W\in\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ por lo que basta con considerar los módulos cíclicos. Obsérvese que para los módulos cíclicos $R/I$ y $R/J$ tenemos $R/I\prec R/J$ si $J\subseteq I$ . Así que si $R/I$ está en $\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ entonces ningún elemento no nulo de $R/I$ puede tener un aniquilador mayor que $I$ (ya que entonces generaría un submódulo cíclico $R/J$ tal que $R/J\not\sim R/I$ ). Esto equivale a $I$ siendo un ideal primo. Por tanto, si $R/I$ está en $\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ entonces $I$ es un ideal primo. A la inversa, si $I$ es primo, entonces todo submódulo cíclico no nulo de $R/I$ es isomorfo a $R/I$ y se deduce que todo submódulo no nulo de $R/I$ tiene un submódulo isomorfo a $R/I$ y así $R/I\in \operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ .

En resumen, la $\sim$ -clases de equivalencia de $\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ están en biyección con los ideales primos de $R$ con cada ideal primo $I$ correspondiente al módulo $R/I$ que es un elemento de $\operatorname{Spec}(\mathbf{A})$ .