ArcTan(2) un múltiplo racional de $\pi$ ?

Question

Considere la posibilidad de $2 \times 1$ rectángulo dividido por una diagonal. Entonces los dos ángulos en una esquina son ArcTan(2) y ArcTan(1/2), que son aproximadamente $63.4^\circ$ y $26.6^\circ$ . Por supuesto, la suma de estos ángulos es $90^\circ = \pi/2$ .

Me gustaría saber si estos ángulos son múltiplos racionales de $\pi$ . No parece que lo sean, por ejemplo, $(\tan^{-1} 2 )/\pi$ se calcula como

0.35241638234956672582459892377525947404886547611308210540007768713728\ 85232139736632682857010522101960

a 100 decimales con Mathematica. Pero, ¿existe algún teorema que pueda aplicarse aquí a demostrar que estos ángulos son múltiplos irracionales de $\pi$ ? Gracias por las ideas y/o sugerencias.

(Esta pregunta surgió pensando en los invariantes de Dehn).

Answer 1

Lema: Si $x$ es un múltiplo racional de $\pi$ puis $2 \cos(x)$ es un número entero algebraico.

Prueba

$$\cos(n+1)x+ \cos(n-1)x= 2\cos(nx)\cos(x) \,.$$

Así

$$2\cos(n+1)x+ 2\cos(n-1)x= 2\cos(nx)2\cos(x) \,.$$

De aquí se deduce que $2 \cos(nx)= P_n (2\cos(x))$ donde $P_n$ es un polinomio mónico de grado $n$ con coeficientes enteros.

En realidad $P_{n+1}=XP_n-P_{n-1}$ con $P_1(x)=X$ y $P_0(x)=1$ .

Entonces, si $x$ es un múltiplo racional de $\pi$ tenemos $nx =2k \pi$ para algunos $n$ y así, $P_n(2 \cos(x))=1$ .

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Ahora, volviendo al problema. Si $\tan(x)=2$ puis $\cos(x) =\frac{1}{\sqrt{5}}$ . Supongamos ahora por contradicción que $x$ es un múltiplo racional de $\pi$ . Entonces $2\cos(x) =\frac{2}{\sqrt{5}}$ es un entero algebraico, y también lo es su cuadrado $\frac{4}{5}$ . Pero este número es entero algebraico y racional, por lo tanto entero, contradicción....

P.D. Si $\tan(x)$ es racional, y $x$ es un múltiplo racional de $\pi$ se deduce exactamente lo mismo que $\cos^2(x)$ es racional, por tanto $4 \cos^2(x)$ es entero algebraico y racional. Esto demuestra que $2 \cos(x) \in \{ 0, \pm 1, \pm 2 \}$ .....

Answer 2

$\arctan(x)$ es un múltiplo racional de $\pi$ si y sólo si el número complejo $1+xi$ tiene la propiedad de que $(1+xi)^n$ es un número real para algún entero positivo $n$ . Es bastante fácil demostrar que esto no es posible si $x$ es un número entero con $|x|>1$ .

Este resultado se desprende esencialmente del hecho de que $\mathbb Z[i]$ es un UFD, y el hecho de que los únicos primos específicos en $\mathbb Z[i]$ son divisores de sus conjugados.

En realidad se puede generalizar esto para todos los racionales, $|x|\neq 1$ observando que $(q+pi)^n$ no puede ser real para ningún $n$ si $(q,p)=1$ y $|qp|> 1$ . Así que $\arctan(\frac{p}q)$ no puede ser un múltiplo racional de $\pi$ .

Más pruebas :

Si $q+pi=z\in \mathbb Z[i]$ y $z^n$ es real, con $(p,q)=1$ entonces si $z=u\pi_1^{\alpha_1} ... \pi_n^{\alpha_n}$ es la factorización de primos enteros gaussianos de $z$ (con $u$ alguna unidad,) $z^n = u^n \pi_1^{n\alpha_1}...\pi_n^{n\alpha_n}$ . Pero si un primo gaussiano $\pi_i$ es un factor de un entero racional, $z^n$ y luego el complemento, $\bar{\pi}_i$ también debe ser un factor de $z^n$ y, por tanto, debe ser un factor de $z$ .

Pero si $\pi_i$ y $\bar{\pi}_i$ son relativamente primos, es decir $\pi_i\bar{\pi}_i=N(\pi_i)$ debe dividir $z$ lo que significa que $N(\pi_i)$ debe dividir $p$ y $q$ Así que $p$ y $q$ no sería relativamente primo.

Así que los únicos primos que pueden dividir $q+pi$ pueden ser los primos múltiplos de sus complementos. Pero los únicos primos de este tipo son los enteros racionales $\equiv 3\pmod 4$ y $\pm1\pm i$ . Los enteros racionales no están permitidos, ya que, de nuevo, eso significaría que $(p,q)\neq 1$ por lo que los únicos factores primos de $z$ puede ser $1+i$ (o sus múltiplos unitarios.) Dado que $(1+i)^2 = 2i$ , $z$ puede tener como máximo un factor de $1+i$ , lo que significa, finalmente, que $z\in\{\pm 1 \pm i, \pm 1, \pm i\}$ .

Pero entonces $|pq|=0$ o $|pq|=1$ .

Answer 3

De hecho, hay una forma increíble de demostrarlo que es bastante elemental.

En primer lugar, observamos que $\arctan(2)$ puede representarse en el número complejo $1 + 2i$ como $\sqrt{5} e^{i \arctan(2)}$

La cuestión de demostrar si $\arctan(2)$ es un múltiplo racional de $\pi$ se plantea ahora como comprobar si el número complejo $(1 + 2i)^n$ es siempre real para todos $n \in \mathbb{N}$ . Si es real, entonces el argumento de $\sqrt{5} e^{i \cdot n *\arctan(2)}$ debe ser múltiplo de pi. En esencia, si $(1 + 2i)^n$ es siempre real, entonces $\arctan(2) \cdot n = m \cdot \pi \implies \arctan(2) = \frac{m}{n} \pi$ .

¿Por qué era útil plantear el problema de esta manera? Intentemos definir una relación de recurrencia para los términos de $(1 + 2i)^n$ . Supongamos que $a_1 = 1$ y $a_2 = 2$ defina $a_n$ ser la parte real de $(1 + 2i)^n$ y $b_n$ la parte imaginaria.

$a_{n+1} + ib_{n+1} = (1+2i) \cdot (1 + 2i)^n = (1+2i) \cdot (a_n + ib_n) \\ a_{n+1} = a_n - 2b_n \\ b_{n+1} = 2a_n + b_n$

Vale, no me gusta que nuestra recursividad tenga dos variables. Vamos a tratar de jugar un poco con ella.

$a_n = a_{n-1} - 2b_{n-1} \\ b_n = 2a_{n-1} + b_{n-1}$

Sustituyendo la primera ecuación en la $b_{n+1}$ obtenemos $b_{n+1} = 2a_{n-1} - 4b_{n-1} + b_n$

Ahora queremos deshacernos de $a_{n-1}$ así que sustituyamos la segunda ecuación después de resolver para $a_{n-1}$ $b_{n+1} = 2b_n - 5b_{n-1}$

Bien, lo tenemos todo en una variable. Puede parecer tentador resolver la relación de recurrencia, pero podemos hacerlo mejor. Tomemos ambos lados mod 5.

$b_{n+1} \equiv 2b_n \pmod 5$

¿Por qué lo hemos hecho? Bueno, conocemos el primer término, $b_1$ es 2. Por lo tanto, cada término posterior será una potencia de 2 (mod 5).

$b_n \equiv 2^n \pmod 5$

Si existe algún término $b_k = 0$ entonces será 0 (mod 5), porque 5 divide a 0. (Si $b_k = 0$ entonces significa que existe un número natural $k$ tal que $(1+2i)^k$ es real)

Pero las potencias de 2 nunca pueden ser congruentes con 0 (mod 5). Por lo tanto, $(1+2i)^n$ nunca es real y, por tanto $\arctan(2)$ no es múltiplo racional de $\pi$ .