¿En qué consiste la teoría de las placas tectónicas?

Question

He pasado de la escuela secundaria y el estudio de las matrices. He aprendido acerca de la determinante, transponer y adjuntos, etc. He aprendido el método de búsqueda de estas cosas, pero ¿cuál es el propósito de encontrar estas cosas? Lo que en realidad Matrices de hacer lo que hace la resolución de las ecuaciones más fácil.

¿Por qué el determinante es igual a $(ab)-(cd)$ $(cd)-(ab)$ para la matriz, $\left[\begin{matrix}a&c\\d&b\end{matrix}\right] $ ?

Por qué inversa de a $\rm A$ es igual a$\dfrac{\operatorname{adj}A} {\det A}$$\dfrac{\det A} {\operatorname{adj}A}$ ?

He leído muchas respuestas como, ¿Cuál es la utilidad de las matrices? dicen que las matrices de hacer esto y aquello ,pero no explica cómo o por qué ?

También lo es la relación entre los vectores y las matrices?

Answer 1

La teoría de la matriz puede ser visto como el cálculo lado de álgebra lineal. Álgebra lineal es la teoría de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales entre espacios vectoriales, y así sucesivamente, pero si uno quiere calcular casos particulares, uno de ellos utiliza el álgebra matricial. En parte es un organismo de las convenciones de las anotaciones de cómo representa el abstracciones descrito por álgebra lineal, y en parte una colección de recetas para la manipulación de estas notaciones.

El límite entre la MA y LA no es fresco, y el hecho de que hay temas en MA que no son muy discutido en LA, así que mi descripción anterior es quizás simplista.

Answer 2

Las Matrices son compactos representaciones de sistemas de ecuaciones lineales.

Estos tipos de problemas son llamados "lineal" porque están estrechamente relacionadas con las líneas rectas y superficies planas en las dimensiones superiores).

Nota: las Matrices se pueden utilizar en una gran variedad de formas, pero en esta respuesta, me voy a centrar en su relación histórica a simple álgebra problemas. Cabe señalar, sin embargo, que algunas de las propiedades de las matrices que son más fáciles de entender desde otras perspectivas (es decir, de sus aplicaciones en la geometría, etc.).

Todas sus preguntas serán contestadas por el final, pero tomará un poco de tiempo para motivar y justificar las respuestas. Así que por favor tengan paciencia conmigo.

EL PROBLEMA

Recuerde que en la escuela primaria cuando se enteró por primera vez de resolver problemas como los siguientes?

$$ 7x+2y=5 \\ 3x-4y=7 $$

Bien, ¿cómo exactamente ha de resolver un problema como este?

Por Medio De Gráficas

Una manera es resolver las dos ecuaciones para $y$, trazar dos líneas rectas en un plano Cartesiano, encontrar su punto de intersección, y la lista de los par ordenado correspondiente a ese punto, ya que la respuesta. Aquí está una Wolfram Alpha página haciendo exactamente eso. El punto de intersección es $(1,-1)$; por lo tanto, la solución es$x=1$$y=-1$.

Desde esta perspectiva, el "lineal" de la naturaleza del problema es bastante obvia.

Por Sustitución

Otra forma estándar para resolver este problema es mediante la "sustitución" - que implica la resolución de una ecuación de $y$ en términos de $x$ y, a continuación, conectar en la otra ecuación para encontrar la $x$ (y, a continuación,$y$). Como este:

$$ 7x+2y=5\\2y=5-7x\\y=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}x\\ \ \ \ \\ \ \ \ \\ 3x-4y=7\\3x-4(\frac{5}{2}-\frac{7}{2}x)=7\\3x-10+14x=7\\17x=17\\x=1\\ \ \ \ \\ y=\frac{5}{2}-\frac{7}{2}(1)\\y=-1 $$

Este método tiene la ventaja de ser menos complicado que el método gráfico, pero también es mucho más abstracto. El cálculo de la respuesta es más sencilla, pero la conexión a la geometría es mucho menos evidente. Este será un tema recurrente a partir de ahora: vamos a continuar con el comercio evidencia y la simplicidad elegante para los cálculos.

Por Operaciones De Fila

El último método que normalmente se enseña es para realizar operaciones en una ecuación completa (como la multiplicación por un número) y, a continuación, agregar a la otra ecuación. Cuando se hace cuidadosamente, este método acelera drásticamente el proceso de resolución de problemas. He aquí cómo se podría trabajar en este caso:

$$ 7x+2y=5 \\ 3x-4y=7\\ \ \ \ \\ 2(7x+2y=5) \rightarrow 14x+4y=10\\ \ \ \\(14x+4y=10)\\+ (3x-4y=7)\\ \rule{4 cm}{0.4 pt} \\17x=17\\ \ \ \\ x=1, \text{etc....} $$

Matrices: Gauss-Jordan Eliminación

Si has estudiado un poco de álgebra matricial, luego de que el último método debe resultarle familiar. La "Fila de Operaciones" método es exactamente la misma idea de Gauss-Jordan Eliminación en una matriz ampliada.

Gauss-Jordan Eliminación es mucho más abstracta que la de los anteriores métodos, debido a las variables $x$ $y$ ya no aparecen en el problema en sí. Sin embargo, todas las coefficents todavía están allí, y que es lo que importa. El objetivo en este caso es obtener la matriz en la Reducida Escalonada. Aquí está una demostración rápida:

$$\text{Start:}\ \left(\begin{array}{cc|c}7&2&5\\ 3 & -4 & 7 \end{array}\right)\\ \text{Top Row x2:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 14 & 4 & 10 \\ 3 & -4 & 7 \end{array}\right)\\ \text{Add Top to Bottom:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 14 & 4 & 10 \\ 17 & 0 & 17 \end{array}\right)\\ \text{Bottom Row $\div$17:} \ \left(\begin{array}{cc|c}14 & 4 & 10 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \text{Bottom Row x14:} \ \left(\begin{array}{cc|c}14 & 4 & 10 \\ 14 & 0 & 14 \end{array}\right)\\ \text{Subtract Bottom from Top:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & 4 & -4 \\ 14 & 0 & 14 \end{array}\right)\\ \text{Top Row $\div$4:} \ \left(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & -1 \\ 14 & 0 & 14 \end{array}\right)\\ \text{Bottom Row $\div$14:} \ \izquierdo(\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)\\ \text{Switch Filas:} \ \izquierdo(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right) $$

Matrices: Por Inversión

Ahora que podemos ver a algunos de conexión entre las matrices y sistemas de ecuaciones lineales, se puede, naturalmente, la pregunta de cómo representar este problema como una ecuación de matriz, y si la matriz de las ecuaciones puede ser resuelto fácilmente.

En primer lugar, vamos a configurar la matriz de la ecuación:

$$ \textbf{Un}\vec{x}=\vec{b}\\ \ \ \\ \ texto{Vamos, } \textbf{A}=\left(\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{array}\right) \ \vec{x}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \ \text{y} \ \vec{b}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}\right)\\ \ \ \\ \por lo tanto \ \left(\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}\right) $$

A partir de aquí, es obvio que la realización de la multiplicación de la matriz entre la matriz y el vector en el lado izquierdo de la ecuación resultados en el sistema original de ecuaciones desde el principio:

$$\left(\begin{array}{cc} 7 & 2 \\ 3 & -4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{c} 7x+2y \\ 3x-4y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}\right) $$

Por lo tanto, uno puede ver que un vector es sólo un par ordenado se volvió de lado. La primera entrada es la $x$-coordinar, mientras que la parte inferior de la entrada es el $y$-coordinar. Por lo tanto, nuestro objetivo en este problema es determinar las componentes del vector desconocido $\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$. Para ello, se debe aislar $\vec{x}$ (igual que si se tratara de una variable normal en lugar de un vector de variables).

Aislar $\vec{x}$ significa encontrar la inversa de a $\textbf{A}$. La inversa de una matriz es única, por lo que voy a escribir de la forma general de la inversa de una matriz 2x2 y eso será suficiente para cubrir nuestro ejemplo.

$$\textbf{A}=\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)\\ \textbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\\ $$

Te recomiendo que compruebes por ti mismo para ver que

$$\textbf{Un}\textbf{A}^{-1}=\textbf{A}^{-1}\textbf{A}=\textbf{I}\\ \ \ \\ \frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$

Para su comodidad (y porque tiene muchas otras aplicaciones), definimos $ad-bc$ a ser el determinante de a $\textbf{A}$." En esta situación, es relevante porque es el factor por el cual la inversa de la matriz debe ser dividida para devolver la identidad de la matriz cuando se multiplica por $\textbf{A}$.

Ahora, finalmente, para resolver nuestro problema tenemos varias el original de la ecuación por la inversa de la matriz y hemos terminado.

$$\textbf{Un}\vec{x}=\vec{b}\\ \ \ \\ \textbf{A}^{-1}\textbf{Un}\vec{x}=\textbf{A}^{-1}\vec{b}\\ \ \ \\ \textbf{I} \vec{x}=\textbf{A}^{-1}\vec{b}\\ \ \ \\ \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=-\frac{1}{34}\left(\begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 7 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} 5 \\ 7 \end{array}\right)\\ \ \ \\ \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array}\right) $$

Como se puede ver, el álgebra es ahora mucho más complicado que el de los métodos básicos que usted aprendió en la escuela primaria. Sin embargo, este trade-off viene con la ventaja de ser mucho más elegante de aspecto de la solución.

Pero, ¿Por Qué?

Hay dos razones principales para el uso de álgebra de matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. En primer lugar, la teoría de matrices es muy amplio. Se generaliza problemas específicos en grandes clases de tipos de problema. Por generalizar de esta manera, podemos identificar similitudes entre los que aparentemente no problemas y, por lo tanto, se relacionan con sus soluciones a la una de la otra. Segundo, los ordenadores son muy buenos con las matrices. Si un problema puede ser resuelto con una matriz y, a continuación, un ordenador puede crear un aproximado de respuesta muy, muy rápidamente. Y, ¿adivinen qué, muchos de los problemas más acuciantes del mundo pueden ser modelados con matrices.

Answer 3

La teoría de la matriz es de álgebra lineal con el método de los sistemas de coordenadas.

En cuanto a por qué el determinante se calcula de esa manera tratar de calcular el área de un cuadrado de longitud unitaria de lado de una vez es transformado por una matriz (considerando dos lados adyacentes como vectores). Determinante es una operación que puede ser aplicado a cualquier operador lineal $L: A\rightarrow A$, $A$ es un espacio lineal sobre un campo, y le da un elemento de un campo, y tiene una interpretación geométrica de que yo le preguntara a usted para buscar.

"Tomar el inverso" es de nuevo una operación que se puede aplicar a cualquier operador lineal que tiene un no-null determinante.

Adjunto: Dada una matriz cuadrada de la suma de los productos de los elementos de una fila (columna) y los correspondientes cofactores es igual al determinante, mientras que la suma del producto de los elementos de una fila (columna) y los correspondientes cofactores de los elementos de la otra fila (columna) es nulo. Eso significa que:$$A \operatorname{adj}(A)=\det A$$ where with $\det$ me refiero a una matriz diagonal cuyos elementos son todos iguales a la determinante.

La transposición es una operación que puede ser aplicado a cualquier aplicación lineal $L: A\rightarrow B$ donde $A$ $B$ espacio lineal sobre el mismo campo de $\Bbb{K}$: da otra aplicación lineal que describe cómo escalar lineal funcional en $B$, $f:B\rightarrow \Bbb{K}$, se asignan a escalar lineal funcional en $A$, $g:A\rightarrow \Bbb{K}$, como una composición de $f$ con $L$: $g=f\circ L$. De esta manera, en vez de realizar tal cálculo de $f(L(x))$ uno puede simplemente hacer $g(x)$, para cualquier $x\in A$

Matrices además de la aplicación lineal también puede ser utilizado para describir bilineales y formas cuadráticas en sistemas de coordenadas.

Los vectores son el elemento de un espacio lineal. Coordenadas de los vectores de su representación una vez que un lineal del sistema de coordenadas elegido ha sido un espacio lineal. Con un lineal del sistema de coordenadas de un espacio lineal $A$ sobre un campo $\Bbb{K}$ se convierte en una imagen homomórfica de un (a coordinar) espacio lineal $\Bbb{K}^n$, $n\in\Bbb{N}$ donde $n\ge dim_\Bbb{K}A$. Si el lineal del sistema de coordenadas es bijective la igualdad se mantiene. Así de coordenadas de los vectores de elementos de la coordenada espacio lineal. Lo que ha de ser usando hasta ahora son las coordenadas de los vectores incluso aunque se le ha de llamar a ellos simplemente vectores. Por extensión, generalmente la representación numérica de un vector llamado vector coordenado también cuando el sistema de coordenadas elegido no es lineal, pero en este caso no se pueden utilizar con el algoritmo de la teoría de la matriz. Coordenadas de los vectores también se utilizan para representar numéricamente lineal funcional una vez lineal en el sistema de coordenadas elegido: esos son normalmente representados como vectores fila, mientras que los primeros son representados como vectores columna.

Answer 4

1. Un inverso multiplicativo a $A$ es una matriz que, cuando se multiplica con $A$ se convierte en la matriz de identidad. Esa es la definición de matriz inversa.
2. Usted puede definir la matriz de multiplicación o división por un escalar, pero det./adj sería un escalar dividida por la matriz y, en general, no definido.
3. La utilidad de las matrices está en todas partes. Hoy en día, definitivamente no hay ninguna rama de la ciencia o de la ingeniería, donde no encuentra el uso de matrices. Pero es difícil explicar por qué antes de aprender más acerca de ellos!

Answer 5

Voy a tomar un muy... noBourbakian enfoque en este.

Las Matrices de transformaciones! Te hacen tener una intuición de lo que los vectores son? La primera intuición es: si quieres transformar tu vectores de un sistema de coordenadas (la"base") a otro, iba a necesitar algo de codificación de esta transformación. Una matriz.

Por supuesto, hay mucho más a él. Podemos codificar grandes sistemas de ecuaciones lineales como matriz-vector producto. Así, la resolución de estas ecuaciones es la redistribución de la matriz, básicamente. Pensar: $Ax=b$, con la matriz a y los vectores $x$$b$, puede ser resuelto por $x$ cuando nos las arreglamos para invertir la matriz $A$. Pero eso es una muy crudo enfoque, buscar descomposición LU.

Bastante las cosas suceden al estudio de la matriz-vector producto, llegar a formas bilineales $v^tAv$, escalar productos y otras cosas divertidas.

Otra de las cuestiones que podrían ser de interés para usted son todas las transformaciones que hacer (con matrices!) en gráficos por ordenador! Básicamente transformar el mundo en 3D de la representación a la ventanilla de la pantalla con un $\mathbb{R}^4$ matriz-vector producto. ¿Por qué cuatro dimensiones? Leer, no puede enviar un enlace por una estúpida razón.

Ah, y se puede generalizar matrices para los tensores, básicamente $n$-dimensiones de las matrices, si las matrices son en 2D.

Para concluir: álgebra lineal es bastante como es, pero es ante todo una herramienta de trabajo matemático. Puedes usarlo para resolver otros problemas. Por ejemplo, si usted puede reducir el problema a una (muy grande) ecuación lineal del sistema, está listo.