¿Cuáles son algunos matemáticamente interesantes cálculos con matrices?

Question

Estoy ayudando a diseñar el módulo para un curso que enseña los fundamentos de programación python para matemáticas aplicadas a estudiantes de pregrado. Como resultado, estoy buscando ejemplos matemáticamente interesante cálculos que involucran matrices.

Preferentemente estos ejemplos sería fácil de implementar en un programa de ordenador.

Por ejemplo, supongamos que

$$\begin{eqnarray} F_0&=&0\\ F_1&=&1\\ F_{n+1}&=&F_n+F_{n-1}, \end{eqnarray}$$ de modo que $F_n$ $n^{th}$ término en la secuencia de Fibonacci. Si ponemos

$$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

vemos que

$$A^1=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_2 & F_1 \\ F_1 & F_0 \end{pmatrix},$$

y se puede demostrar que

$$ A^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \end{pmatrix}.$$

Este ejemplo es "interesante" en la que ofrece una nueva manera de calcular la secuencia de Fibonacci. También es relativamente fácil de implementar un programa sencillo para comprobar lo anterior.

Otros ejemplos de este tipo será muy apreciada.

Answer 1

Si $(a,b,c)$ es una terna Pitagórica (es decir, números enteros positivos tales que a $a^2+b^2=c^2$), luego $$\underset{:=A}{\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2\\ 2 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 3 \end{pmatrix}}}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$$ también es una terna Pitagórica. Además, si la inicial triple es primitivo (es decir,$a$, $b$ y $c$ cuota común divisor), entonces también es el resultado de la multiplicación.

Lo mismo es cierto si reemplazamos $A$ por una de las siguientes matrices:

$A$B:=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{o}\quad C:=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 2\\ -2 & 1 & 2\\ -2 & 2 & 3 \end{pmatrix}. $$

Tomando $x=(3,4,5)$ inicial triple, podemos utilizar las matrices $A$, $B$ y $C$ a la construcción de un árbol con todas las ternas Pitagóricas primitivas (sin repetición) de la siguiente manera:

$$x\left\{\begin{matrix} Ax\left\{\begin{matrix} AAx\cdots\\ BAx\cdots\\ CAx\cdots \end{de la matriz}\right.\\ \\ Bx\left\{\begin{matrix} ABx\cdots\\ BBx\cdots\\ CBx\cdots \end{de la matriz}\right.\\ \\ Cx\left\{\begin{matrix} ACx\cdots\\ BCx\cdots\\ CCx\cdots \end{de la matriz}\right. \end{matriz}\right.$$

Fuente: Wikipedia la página del Árbol de la primitiva ternas Pitagóricas.

Answer 2

(Sólo mis dos centavos.) Mientras que esto no tiene mucho que ver con numéricas cálculos, en mi humilde opinión, un ejemplo muy importante es el modelado de los números complejos por $2\times2$ matrices, es decir, la identificación de $\mathbb C$, con una sub-álgebra de $M_2(\mathbb R)$.

Los estudiantes que están expuestos a la primera números complejos a menudo preguntan "$-1$ tiene dos raíces cuadradas. Que una es $i$ y que uno es $-i$?" En algunos de los modelos más populares de $-i$, $(0,-1)$ sobre el Argand'avión o $-x+\langle x^2+1\rangle$$\mathbb R[x]/(x^2+1)$, un estudiante puede obtener una impresión falsa de que existe una forma natural para identificar una raíz cuadrada de $-1$ $i$ y el otro con $-i$. En otras palabras, que erróneamente creen que la elección debe ser de alguna manera relacionados con el orden de los números reales. En la matriz del modelo, sin embargo, es claro que uno puede perfectamente identificar a $\pmatrix{0&-1\\ 1&0}$ $i$ o $-i$. Las opciones son completamente simétricas y arbitraria. Ninguno de los dos es más natural que las otras.

Answer 3

Las raíces de cualquier polinomio $$p(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i x^i$ $ son los valores propios de la matriz del compañero del

$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & -c_0/c_n \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -c_1/c_n \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -c_2/c_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{n-1}/c_n \end{bmatrix} $$

que les podrás calcular mediante la iteración de la energía.

.. .en menos en el caso de raíces reales. Diferentes métodos se pueden necesitar para raíces complejas.

Answer 4

Sistemas de funciones iteradas son divertidas para dibujar y se computan con matrices. Puede también ilustrar qué multiplicación de la matriz hace.

Por ejemplo, esto llama helecho de Barnsley:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from random import randint

fig = plt.figure()

mats = [np.array([[0.8,0.03],[-0.03,0.8]])]
mats.append(np.array([[0,0.3],[0.3,0]]))
mats.append(np.array([[0,-0.3],[0.3,0]]))
mats.append(np.array([[0,-0.006],[0,0.2]]))

offsets = np.array([[0,1],[0.4,0.2],[-0.4,0.2],[0,-1]])

vec = np.array([0,0])
xlist, ylist  = [], []
for count in range(100000):
    r = randint(0,100)
    i = 0
    if r > 70: i += 1
    if r > 80: i += 1
    if r > 90: i += 1
    vec = mats[i].dot(vec) + offsets[i]
    xlist.append(vec[0])
    ylist.append(vec[1])

plt.plot(xlist, ylist, color='w', marker='o', markeredgewidth=0.1, markersize=0.3, markeredgecolor='k')
plt.show()

Answer 5

Si entonces, $(a,b,c),(d,e,f)\in\mathbb{R}^3$ $$(a,b,c)\times(d,e,f)=(b f-c e,c d-a f,a e-b d).$$This formula seems rather arbitrary, but there is another way of defining the cross-product which uses matrices. Define$$A(x,y,z)=\begin{pmatrix}0&-x&z\\x&0&-y\\-z&y&0\end{pmatrix}.$$Then$% $$A(a,b,c).A(d,e,f)-A(d,e,f).A(a,b,c)=A(b f-c e,c d-a f,a e-b d).$algunas propiedades del producto Cruz son consecuencia inmediata de esto, como por ejemplo:

• $(a,b,c)\times(a,b,c)=(0,0,0)$;
• más generalmente, $(a,b,c)\times(d,e,f)=-(d,e,f)\times(a,b,c)$.