¿Existe $a,b,c\in \mathbb Q$ tal que $(a+b+c)^2 + 3(a+b+c)+5=2(ab+bc+ca)$

Question

¿Existe $ a,b,c\in \mathbb Q$ tal que $(a+b+c)^2 + 3(a+b+c)+5=2(ab+bc+ca)$

Creo que la respuesta es no

Answer 1

Después de hacer el cambio de una variable y la multiplicación por un denominador común, que se quedan con la resolución de $a^2+b^2+c^2 = 7d^2$ con enteros $a,b,c,d$.

Sin embargo, los cuadrados son congruentes a $0,1$ o $4$ modulo $8$. Por lo $a^2+b^2+c^2 \not\equiv 7 \pmod 8$ $7d^2 \equiv 0,4,7 \pmod 8$

Por lo tanto $d$ debe ser, incluso, lo que implica que $a,b,c$ son aún, y, a continuación, $a/2,b/2,c/2,d/2$ son nuevos números enteros que satisface la misma ecuación. Por lo tanto $a,b,c,d$ son infinitamente divisible por $2$, por lo que son todos los $0$.

De lo que no hay ninguna solución a la ecuación.

Answer 2

Después de la simplificación de la ecuación obtendrá $$(a+\frac{3}{2})^2+(b+\frac{3}{2})^2+(c+\frac{3}{2})^2=\frac{7}{4}.$$Note that LHS$\geq 3.(\frac{3}{2})^2>HR$, por lo tanto no es posible.