Condición necesaria para tener el mismo rango

Question

Deje $P,Q$ $n\times n$ matrices tales que $P^2=P$ , $Q^2=Q$ y $I-P-Q$ es una matriz invertible.

Demostrar que $P$ $Q$ tienen el mismo rango.

Alguna ayuda con esto por favor , feliz año y gracias.

Answer 1

Desde $I-P-Q$ es invertible, por supuesto, tenemos $$rank(P)=rank(P(I-P-Q))\mbox{ and }rank(Q)=rank((I-P-Q)Q).$$ Por otro lado, tenemos $$P(I-P-Q)=P-P^2-PQ=-PQ$$ desde $P^2=P$, y $$(I-P-Q)Q=Q-PQ-Q^2=-PQ$$ desde $Q^2=Q$. La combinación de todos estos, tenemos $$rank(P)=rank(-PQ)=rank(Q).$$

Answer 2

Deje $V$ ser el espacio vectorial en el que todas estas matrices de ley. En primer lugar, tenga en cuenta que $V = P(V) \oplus (I-P)V$ (y de hecho, $P(V) = \ker (I-P),$ $(I-P)V = \ker P.$ Asimismo, para $Q$ en lugar de $P.$

Ahora, observe que el tercer estado de estados que por ningún vector es cierto que $(I-P)v = Q v.$ Esto significa que el $\dim Q (V) \leq \dim P(V).$ Pero por un simétrica argumento, $\dim P(V) \leq \dim Q(V).$, $\dim Q(V) = \dim P(V).$ Ahora el resultado de la siguiente manera, ya que el rango de $P$ (o $Q$) es igual a la dimensión de la imagen.