Matrices con Tres a Cero de las Diagonales

Question

¿Cómo calcular los vectores propios de las matrices de la forma

\begin{equation} \nonumber M = \left( \begin{array}{cccccccccc} a_1 & 0 & b_1&&&&&&&\\ 0 & a_2 & 0& b_2&&&&&&& \\ c_1 &0 & a_3 & 0&b_3&&&&&& \\ &c_2&0& a_4& 0&&&&&& \\ &&c_3&0& &&&&&& \\ &&&&&\ddots\\ \\ &&&&&& a_{n-3} & 0 & b_{n-3}& \\ &&&&& &0 & a_{n-2} & 0 & b_{n-2}\\ &&&&&&c_{n-3}& 0& a_{n-1}& 0\\ &&&&&&&c_{n-2}& 0 &a_n \\ \end{array} \right) \end{equation}

donde todos los omitido las entradas son nulos?

La matriz especialmente estoy tratando con la propiedad adicional de ser estocástico, por lo que el director autovalor es uno.

Answer 1

Me dirijo a el caso en que $n$ es incluso. Si se conjuga con una permutación de la matriz correspondiente a la permutación $$ \pmatrix{1&2&3&\cdots& n/2 y n/2 +1 y n/2+2& \cdots & n \\ 1&3&5&\cdots &n-1&2&4&\cdots&n} $$ A continuación, nos encontramos con la similar de la matriz $$ \pmatrix{ a_1&b_1\\ c_1&a_3&b_3\\ y c_3&\ddots\\ &&&&b_{n-3}\\ &&&c_{n-3}&a_{n-1}&\\ &&&&& a_2&b_2\\ &&&&&c_2&a_4&b_4\\ &&&&&&c_4 & \ddots } $$ es decir, que tenemos la suma directa de dos tridiagonal de las matrices. En el raro caso, nos encontramos con una cantidad similar, pero los tamaños de los bloques no son el mismo.

Con eso, hemos reducido el problema de encontrar los valores propios de una matriz tridiagonal, que supongo que es un poco más fácil.

Tenga en cuenta también que a partir de un reducible estocástico de la matriz (y, en particular, la suma directa de dos irreductible matrices) vamos a terminar con 2 linealmente independiente de vectores propios asociados con $\lambda = 1$.