¿Por qué es $U(\Lambda)^{-1} = U(\Lambda^{-1})$ para una representación unitaria?

Question

Esto es desde el comienzo de Srednicki del QFT libro de texto, donde él escribe (aproximadamente):

En QM hemos asociado un operador unitario $U(\Lambda)$ a cada uno adecuado orthochronous la transformación de Lorentz $\Lambda$. Estos operadores deben obedecer la composición de la regla

$$U(\Lambda'\Lambda) = U(\Lambda')U(\Lambda).$$

Hasta ahora OK.

Pero, ¿de dónde se obtiene el siguiente? $$U(\Lambda)^{-1} = U(\Lambda^{-1})$$

Answer 1

En efecto, también es necesario asumir que $U(I)= I$ donde el ex $I$ es la matriz de identidad en el grupo y el último es el operador identidad en el espacio de Hilbert.

Así, tomando ventaja de su primera identidad tiene que: $$U(\Lambda^{-1})U(\Lambda) = U(\Lambda)U(\Lambda^{-1}) = U(I)=I$$ and it implies $U(\Lambda^{-1})= U(\Lambda)^{-1}$, debido a la unicidad de la inversa del operador.

Answer 2

Me gustaría añadir algo a V. Moretti (correcta) de respuesta. Usted puede preguntarse

¿De dónde la propiedad$U(I) = I$?

Esta propiedad con el original que le pidieron, en general para cualquier grupo de la representación y, de hecho, para cualquier grupo de homomorphism.

Deje $\mathrm{SO}(1,3)^+$ denotar la adecuada, orthochronous grupo de Lorentz, y deje $U(\mathcal H)$ denotar el grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert $\mathcal H$ de la teoría. La representación $U:\mathrm{SO}(1,3)^+\to U(\mathcal H)$ acerca de lo que usted está pidiendo, es un grupo de representación que, en particular, es un grupo de homomorphism. Un grupo de homomorphism de un grupo de $G$ a un grupo de $H$ es un mapeo $\phi:G\to H$ tal que \begin{align} \phi(g_1g_2) = \phi(g_1)\phi(g_2) \end{align} para todos los $g_1, g_2\in G$. Esta propiedad implica algunas cosas interesantes. Deje $I_G$ ser la identidad de $G$ $I_H$ ser la identidad de $H$. A continuación, observe, por ejemplo, que \begin{align} \phi(I_G) =\phi(I_GI_G) = \phi(I_G)\phi(I_G) , \end{align} y multiplicando por $\phi(I_G)^{-1}$ en ambos lados da \begin{align} \phi(I_G) = I_H. \end{align} En otras palabras

Grupo homomorphisms mapa de la identidad a la identidad.

V. Moretti la respuesta puede luego ser adoptado, en general, para demostrar que ellos también tienen la propiedad de $\phi(g^{-1}) = \phi(g)^{-1}$.