Método de Newton para raíces de multiplicidad $> 1$

Question

Estoy estudiando análisis numérico y leo en Wikipedia que "Si la raíz buscada tiene multiplicidad mayor que uno, la tasa de convergencia es meramente lineal".

El artículo en Wikipedia también menciona que "si la multiplicidad $m$ de la raíz es conocida, se puede utilizar el siguiente algoritmo modificado que preserva la tasa de convergencia cuadrática: $$x_{n+1} = x_n -m \bigl[f(x_n)/f'(x_n)\bigr].$$

Intenté demostrarlo y no pude (sólo conseguí demostrar que la tasa de convergencia es al menos lineal). ¿Alguna idea de cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Hum, no voy a escribir todos los detalles ... escribir $f(x) = (x-a)^m g(x)$ con $g(a)\ne 0$ .

Entonces $$\phi(x) = x - m {f(x) \over f'(x)} = x - { (x-a) g(x) \over g(x) + {1\over m} (x-a) g'(x)} $$

Establecer $x_{n+1} = \phi(x_n)$ y $y_n = x_n - a$ . Entonces $$y_{n+1} = y_n \left( 1 - {1 \over 1 + {1\over m} y_n {g'(a+y_n)\over g(a+y_n)}}\right).$$

Una aproximación de primer orden da $$y_{n+1} \simeq y_n^2 {1\over m} {g'(a+y_n)\over g(a+y_n)},$$ de ahí la convergencia cuadrática (aquí os dejo algunos detalles escabrosos).

Tenga en cuenta que sin el $m$ los mismos cálculos conducen a $$y_{n+1} \simeq y_n \left( {m-1\over m} + {1\over m} y_n {g'(a+y_n)\over g(a+y_n)} \right) \simeq {m-1\over m} y_n,$$ por lo que obtendrá una tasa lineal de convergencia.

Answer 2

Supongamos que $x$ es una raíz m-múltiple. entonces puede tener $f(x_k)=(x_k-x)^mf^{(m)}(x)/m!+O((x_k-x)^{m+1})$ derivarlo $f'(x_k)=m(x_k-x)^{m-1}f^{(m)}(x)/m!+O((x_k-x)^m)$

$$x_{k+1}-x=x_k-f(x_k)/f'(x_k)-x$$ $$=x_k-x-(x_k-x)/m+O((x_k-x)^2)$$ ves que esto es convergencia lineal. Pero si cambias aquí $x_{k+1}=x_k-m[f(x_k)/f'(x_k)]$

entonces puede obtener este resultado $x_k-x-m(x_k-x)/m+O((x_k-x)^2)=O((x_k-x)^2)$