La pregunta completa es como sigue:
Cuántas $5$números que se pueden formar a partir de los enteros $1,2,\dots,9$ si no dígito puede aparecer más de dos veces? (Por ejemplo, $41434$ no está permitido.)
Puse mi respuesta como la suma de tres subconjuntos (no repetición, un par, y dos pares). El número de posibilidades de no reps es $9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5$. El número de posibilidades para que una pareja se $\binom94$. Si hay un par, entonces hay $4$ distintos dígitos en el $5$-número de dígitos. Multiplica esto por $5!/2$, ya que cada dígito se necesita un lugar, que es calculado por $5!$. Dividir por $2$ a eliminar la redundancia de los dígitos en el par. Asimismo, el tercer conjunto de va $\binom93\cdot5!/(2\cdot2)$. La suma de los tres subconjuntos:
$$9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 + \binom94\cdot\frac{5!}2 + \binom93\cdot\frac{5!}{2\cdot2}$$
La respuesta en la parte de atrás del libro va:
Hay $\binom52\cdot8\cdot7\cdot6$ números en la que sólo un dígito aparece dos veces, así que hay $9\cdot\binom52\cdot8\cdot7\cdot6$ números en las que un solo dígito aparece dos veces. Hay $7\cdot5!/(2!\cdot2!)$ números en los que dos especificado de dígitos aparecen dos veces, así que hay $\binom92\cdot7\cdot5!/(2!\cdot2!)$ números en los que los dos dígitos que aparecen dos veces. Por lo tanto, la respuesta es
$$9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 + 9\binom52\cdot8\cdot7\cdot6 + \binom92\cdot7\cdot\frac{5!}{2\cdot2}$$
La respuesta tiene sentido para mí, pero la mía no me parece mal tampoco. Ambas respuestas no iguales a la misma, así que quería saber si alguien podría señalar mi error en el pensamiento.
