Estoy solo curiosidad acerca de por qué una función de $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R $ se dice es Lebesgue medible si $f^{-1}(U):=V$ es medible, siempre que $U$ está abierto en los reales. Este parece ser contrario a la definición más general entre el sigma álgebra de operadores que dice que la imagen inversa de un conjunto medible es medible. Por qué no usar esta última definición en lugar de en el conjunto abierto?
Respuesta
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JoshL
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La definición que enuncia es equivalente a:
La imagen inversa de cualquier conjunto de Borel medible
pero cuando la definición es indicado para abrir los conjuntos que pueden ser más fáciles de comprobar, en particular, de los casos. En realidad puede ser reducido aún más, sólo decir que el inverso de imágenes de algunas suficiente colección de intervalos son todos medibles.
Hay dos razones para no buscar en funciones con la propiedad de que la imagen inversa de cualquier Lebesgue medibles conjunto es Lebesgue medible:
1) Para los fines de Lebesgue de integración, los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ que necesitamos para tomar inversa imágenes de son conjuntos de Borel, así que para este propósito no hay ninguna necesidad de mayor generalidad.
2) no es cierto que toda función continua $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene la propiedad de que la pre-imagen de cada Lebesgue medibles conjunto es Lebesgue medible. Esto fue señalado por Nate Eldridge en este MO respuesta.
Todo lo que necesitamos para construir un ejemplo es un continuo bijection $q$ entre un conjunto de medida positiva $A$ y un conjunto de medida cero $B$. El conjunto $A$ tienen un no-Lebesgue-medible subconjunto $M$, pero $q(M)$ será un subconjunto de un conjunto de medida cero y, por tanto, $q(M)$ serán medibles. Ser un bijection, $q$ se tire hacia atrás el conjunto medible $q(M)$ a los que no se pueden medir set $M$.
Para tomar un ejemplo de Folland del Análisis Real, el ejercicio 2.2.9, vamos a $g(x) \colon [0,1] \to [0,2]$ $x + f(x)$ $[0,1]$ donde $f(x)$ es la llamada función de Cantor $$ f(x) = P(C \cap [0,x]) $$
donde $P$ es el estándar de la feria de monedas medida de probabilidad sobre el conjunto de Cantor $C$. A continuación, $g$ es continua (porque $P$ no es atómica) y $g$ es estrictamente creciente, por lo que es bijective, y $g(C)$ ha positiva de la medida de Lebesgue. Desde $[0,1]$ es compacto, $g$ es una tarjeta abierta, estándar de la topología, por lo $q = g^{-1}$ es un continuo bijection con la propiedad deseada: $M = g(C)$ tiene medida positiva y $q(M) = C$ tiene una medida de $0$.
Yendo más lejos, este MO pregunta tiene una pista acerca de cómo hacer un ejemplo,$q$$C^\infty$.
