Estoy usando Humphreys como mi fuente.
No creo que el Casimir elemento por sí solo es suficiente. Al menos yo no veo una razón por la que debería (en este momento estoy un poco oxidado en este tema). El concepto relevante en Humphreys es la acción del centro de $\frak{Z}$ de la envolvente universal de álgebra.
Por Schur del lema cualquier elemento $c$ $\frak{Z}$ actúa como un escalar $f_V(c)$ sobre una representación irreducible $V$. Por lo tanto una irreductible módulo nos da un carácter $f_V:\frak{Z}\to \mathbb{C}$. Los resultados no estatales en las que los personajes relacionados con el estándar cíclico módulos de dos de las más altas de los pesos son iguales, si y sólo si los dos pesos están en la misma órbita de la Weyl grupo bajo el denominado punto de acción (=la costumbre de acción conjugada con una traducción por la suma de fundamental dominante pesos). Esta es la esencia de Harish-Chandra teorema. Tenga en cuenta que en este tipo de órbitas cada vez hay un único dominante de peso. Por lo tanto, si nos limitamos a lo finito representaciones tridimensionales (que son parametrizadas por el dominante, la más alta de pesos), el personaje por el cual $\frak{Z}$ actúa en el módulo de información suficiente para distinguir una irreductible representación de otro.
Sabemos que el universal Casimir elemento $c_L$ pertenece a $\frak{Z}$. Si dos personajes de $\frak{Z}$ está de acuerdo en $c_L$, entonces necesariamente están de acuerdo en la subalgebra de $\frak{Z}$ generado por $c_L$. Así que la pregunta es si la restricción de que el personaje
a este subalgebra da suficiente información para distinguir uno finito dimensionales representante de otro. No creo que lo hace en general. Si mal no recuerdo el número de generadores independientes que usted necesita para obtener todos los de $\frak{Z}$ es igual al rango de la raíz del sistema. Que sugiere que la subalgebra generado por $c_L$ no puede ser lo suficientemente grande, a menos que el rango es igual a uno. En otras palabras, $c_L$ es suficiente en el caso de $SO(3)$ y universal de la cubierta de la $SU(2)$, pero no es suficiente, si tenemos un rango de $\ge2$ sistema de raíces.
Esto es un poco vaga, lo siento. Yo creo que esto es acerca de lo que está sucediendo.
