Hallar el campo vectorial dado el rizo

Question

Tengo una ecuación $\nabla \times \vec{B} = \mu_{0}\vec{J}$ donde $\vec{J} = \left\langle f(x,y), g(x,y), 0 \right\rangle$ y necesitamos resolver para $\vec{B}$ .

He buscado por aquí cómo "deshacer" el operador curl, pero todas las respuestas que he encontrado han sido muy teóricas y abstractas, y esperaba obtener una explicación más concreta para este problema en particular.

Romper el rizo de $\vec{B}$ en componentes y derivadas parciales, tengo:

$$\frac{\partial B_{2}}{\partial x} - \frac{\partial B_{1}}{\partial y} = 0$$ $$\frac {{parcial B_3}} {{parcial y}} - \frac {{parcial B_2}} {{parcial z}} = \mu_{0} f(x, y)$$ $$\frac{\partial B_{1}}{\partial z} - \frac{\partial B_{3}}{\partial x} = \mu_{0} g(x, y)$$

Y desde aquí estoy atascado. Otros ejemplos con funciones explícitas han utilizado conjeturas para averiguar los componentes, pero estoy teniendo problemas con las funciones arbitrarias de $f(x,y)$ y $g(x,y)$ .

Answer 1

Como ya ha mencionado John Hughes, necesitamos $\nabla \cdot \vec J=0$ . Bajo esa restricción, procedemos.

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Dado que el rizo del gradiente es cero ( $\nabla \times \nabla \Phi=0$ ), entonces si

$$\nabla \times \vec B =\mu_0 \vec J$$

para el campo magnético $\vec B$ entonces también tenemos

$$\nabla \times (\vec B+\nabla \Phi) =\mu_0 \vec J$$

para cualquier campo escalar (suave) $\Phi$ . Esto significa que no existe una solución única al problema, ya que $\vec B +\nabla \Phi$ también es una solución para cualquier $\Phi$ .

Sin embargo, si también especificamos la divergencia del campo magnético (sabemos que es cero), entonces podemos buscar una solución única. Por ejemplo,

$$\nabla \times \nabla \times \vec B =-\mu_0 \nabla \times \vec J$$

con lo que utilizando la identidad vectorial $\nabla \times \nabla \times \vec B= \nabla ( \nabla \cdot \vec B)-\nabla^2 \vec B$ y explotando $\nabla \cdot \vec B=0$ da

$$\nabla^2 \vec B=-\mu_0 \nabla \times \vec J$$

que tiene solución

$$\vec B(\vec r)=\mu_0 \int_V \frac{\nabla' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'$$

donde la integral de volumen se extiende por todo el espacio donde $\vec J=\ne 0$ . Podemos integrar por partes en tres dimensiones utilizando la regla del producto vectorial identidad $\nabla \times (\Phi \vec A) = \Phi \nabla \times \vec A+\nabla \Phi \times \vec A$ escribir

$$\begin{align} \vec B(\vec r)&=\mu_0 \int_V \frac{\nabla' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'\\\\ &=\mu_0 \int_V \left(\nabla' \times \left(\frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) -\nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') \right)dV'\\\\ &=\mu_0 \oint_S \frac{\hat n' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dS'- \mu_0 \int_V \nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV' \end{align}$$

Ahora, podemos ampliar la región de integración a todo el espacio. Entonces, si $\vec J=0$ fuera de una región finita, entonces la integral de superficie desaparece y tenemos

$$\begin{align} \vec B(\vec r)&= -\mu_0 \int_V \nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'\\\\ &=\mu_0 \int_V \nabla \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'\\\\ &=\nabla \times \left( \mu_0 \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV' \right) \end{align}$$

donde la primera igualdad es efectivamente la ley de Biot-Savart y la última igualdad revela que $\vec B =\nabla \times \vec A$ para el potencial vectorial

$$\vec A(\vec r) = \mu_0 \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'$$

Answer 2

No se puede resolver en general. La divergencia del rizo de un campo vectorial es siempre cero; eso significa que $$\frac{\partial}{\partial x} \mu_0 f(x, y) + \frac{\partial}{\partial y} \mu_0 g(x, y) = 0$$ Aun suponiendo que $\mu_0$ es una constante, esa igualdad simplemente no es cierta para todas las funciones. Por ejemplo, para $f(x, y) = x$ y $g(x, y) = 0$ es falso.