Como ya ha mencionado John Hughes, necesitamos $\nabla \cdot \vec J=0$ . Bajo esa restricción, procedemos.
Dado que el rizo del gradiente es cero ( $\nabla \times \nabla \Phi=0$ ), entonces si
$$\nabla \times \vec B =\mu_0 \vec J$$
para el campo magnético $\vec B$ entonces también tenemos
$$\nabla \times (\vec B+\nabla \Phi) =\mu_0 \vec J$$
para cualquier campo escalar (suave) $\Phi$ . Esto significa que no existe una solución única al problema, ya que $\vec B +\nabla \Phi$ también es una solución para cualquier $\Phi$ .
Sin embargo, si también especificamos la divergencia del campo magnético (sabemos que es cero), entonces podemos buscar una solución única. Por ejemplo,
$$\nabla \times \nabla \times \vec B =-\mu_0 \nabla \times \vec J$$
con lo que utilizando la identidad vectorial $\nabla \times \nabla \times \vec B= \nabla ( \nabla \cdot \vec B)-\nabla^2 \vec B$ y explotando $\nabla \cdot \vec B=0$ da
$$\nabla^2 \vec B=-\mu_0 \nabla \times \vec J$$
que tiene solución
$$\vec B(\vec r)=\mu_0 \int_V \frac{\nabla' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'$$
donde la integral de volumen se extiende por todo el espacio donde $\vec J=\ne 0$ . Podemos integrar por partes en tres dimensiones utilizando la regla del producto vectorial identidad $\nabla \times (\Phi \vec A) = \Phi \nabla \times \vec A+\nabla \Phi \times \vec A$ escribir
$$\begin{align} \vec B(\vec r)&=\mu_0 \int_V \frac{\nabla' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'\\\\ &=\mu_0 \int_V \left(\nabla' \times \left(\frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) -\nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') \right)dV'\\\\ &=\mu_0 \oint_S \frac{\hat n' \times \vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dS'- \mu_0 \int_V \nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV' \end{align}$$
Ahora, podemos ampliar la región de integración a todo el espacio. Entonces, si $\vec J=0$ fuera de una región finita, entonces la integral de superficie desaparece y tenemos
$$\begin{align} \vec B(\vec r)&= -\mu_0 \int_V \nabla' \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'\\\\ &=\mu_0 \int_V \nabla \left(\frac{1}{4\pi |\vec r-\vec r'|}\right) \times \vec J(\vec r') dV'\\\\ &=\nabla \times \left( \mu_0 \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV' \right) \end{align}$$
donde la primera igualdad es efectivamente la ley de Biot-Savart y la última igualdad revela que $\vec B =\nabla \times \vec A$ para el potencial vectorial
$$\vec A(\vec r) = \mu_0 \int_V \frac{\vec J(\vec r')}{4\pi |\vec r-\vec r'|}dV'$$
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De la ecuación $1$ sabes que $B_{2x}=B_{2y}$ .
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¿Quiere el campo magnético en el mismo dominio para el que se define la corriente, o sólo en una región exterior a la densidad de corriente?
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math.stackexchange.com/questions/81405/anti-curl-operator