Integre $\int \frac{x^5 dx}{\sqrt{1+x^3}}$

Question

Tomé $1+x^3$ como $t^2$ . También dividí $x^5$ como $x^2 .x^3$ . A continuación, he sustituido el valor diferenciado en in $x^2$ . Puse $x^3$ como $1- t^2$ . Estoy recibiendo el último paso como $2/9[\sqrt{1+x^3}x^3 ]$ pero esta es la respuesta incorrecta, debería obtener $2/9[\sqrt{1+x^3}(x^3 +2)]$ .

Por favor, ayúdame. Gracias

Answer 1

Parece que sólo has cometido un pequeño error, pero como no he podido saber exactamente dónde se ha producido, te he proporcionado una solución paso a paso empezando por la sustitución que has elegido.

Si $t^2=1+x^3$ entonces $2t\,dt=3x^2\,dx$ Así que \begin{align*} \int \frac{x^5\,dx}{\sqrt{1+x^3}}&=\int \frac{x^3\cdot 3x^2\,dx}{3\sqrt{1+x^3}}\\ &=\int \frac{2t(t^2-1)\,dt}{3t}\\ &=\frac{2}{3}\int (t^2-1)\,dt\\ &=\frac{2}{3}\left(\frac{t^3}{3}-t\right)+C\\ &=\frac{2}{9}\left(t^3-3t\right)+C\\ &=\frac{2}{9}\left((1+x^3)\sqrt{1+x^3}-3\sqrt{1+x^3}\right)+C\\ &=\frac{2}{9}(x^3-2)\sqrt{1+x^3}+C. \end{align*}

Answer 2

Este es un problema de integración por partes, pero primero, establezca $u=x^3$ . Entonces $ du = 3x^2 dx $ por lo que la integral se convierte en $$ \frac{1}{3}\int \frac{u}{\sqrt{1+u}} \, du, $$ en el que puedes ver cómo hacer las piezas: $$ \int \frac{u}{\sqrt{1+u}} \, du = 2u\sqrt{1+u} - 2\int \sqrt{1+u} \, du = 2u\sqrt{1+u} - \frac{4}{3}(1+u)^{3/2} +C, $$ que también se puede escribir como $\frac{2}{3}(u-2)\sqrt{1+u} + C$ . Entonces la respuesta final es $$ \frac{2}{9}(x^3-2)\sqrt{1+x^3} + C. $$

Answer 3

Sustituir $t=1+x^3$ y $dt=3x^2$ :

\begin{align*} \int \frac{x^5 dx}{\sqrt{1+x^3}}&=\frac{1}{3}\int \frac{(t-1) dt}{\sqrt{t}}\\ &=\frac{1}{3}\int \left( \sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}\left( \frac{2}{3}t^\frac{3}{2}-2\sqrt{t}\right)\\ &=\frac{2}{9}(x^3-2)\sqrt{1+x^2} \end{align*}

Y, por supuesto, no hay que olvidar la constante de la integración.