Cómo probar las declaraciones

Question

es $m^2+mn+n^2$ $\iff$ $m$ $n$ está y aún

He intentado m y n ambos incluso $\Rightarrow$ $m^2+mn+n^2$ está aún por:

$m=2p$ $n=2q$

$(2p)^2+2p*2q+(2q)^2$

$4p^2+4pq+4q^2$

$2(2p^2+2pq+2q^2)$

$2$ veces un entero lo hace incluso. No estoy seguro cómo demostrar lo contrario y si mi prueba es aún correcto.

Gracias

Answer 1

Hay tres casos: ninguno es aún, uno es incluso, o ambos incluso:

Si ninguno es aún así $m^2, mn$ y $n^2$ son todos impares y la suma de las tres probabilidades es impar.

Si uno es aún así $mn$ es incluso un exactamente uno de $m^2$ y $n^2$ es. por lo tanto es la suma de un impar y dos eventos que es impar.

Si todos son aun así $m^2, mn$ y $n^2$ son incluso que hace la suma aún.

Answer 2

Para probar $$m^2 + mn + n^2 \implies m, n \text{ are both even},$ $

Probar: $$\lnot (m, n \text{ are both even}) \implies m^2 + mn + n^2 \;\text{is not even.}$$Assume that "It is not the case that $m$ n son ambos incluso. "

Así que hay tres casos a considerar.

• $m$impar, $n$ impares.
• $m$impar, $n$ incluso.
• $m$incluso, $n$ impares.

Teniendo en cuenta el primer caso y cualquiera de los dos segundos casos es suficiente.

Answer 3

Escribir $m=2k_1+r_1$ $n=2k_2+r_2,$ donde $k_1,k_2,r_1,r_2$ son enteros, y $r_1,r_2\in\{0,1\}$. A partir de esto, y el hecho de que $r_1^2=r_1$ $r_2^2=r_2$ en ambos casos, vemos que $$\begin{align}m^2+mn+n^2 &= (2k_1+r_1)^2+(2k_1+r_1)(2k_2+r_2)+(2k_2+r_2)^2\\ &= 4k_1^2+4k_1r_1+r_1^2+4k_1k_2+2k_1r_2+2k_2r_1+r_1r_2+4k_2^2+4k_2r_2+r_2^2\\ &= 2(2k_1^2+2k_1r_1+2k_1k_2+k_1r_2+k_2r_1+2k_2^2+2k_2r_2)+r_1^2+r_1r_2+r_2^2\\ &= 2(2k_1^2+2k_1r_1+2k_1k_2+k_1r_2+k_2r_1+2k_2^2+2k_2r_2)+r_1+r_1r_2+r_2.\end{align}$$

De ello se desprende que $m^2+mn_n^2$ es que aun si y sólo si $r_1+r_1r_2+r_2$ es incluso. Sólo tenemos que demostrar que esto ocurre si y sólo si $r_1=r_2=0$. Una dirección de la desigualdad es inmediata. En el otro sentido, si $r_1=1,$ $r_1+r_1r_2+r_2=1+2r_2$ es impar. Del mismo modo, si $r_2=1.$ si $m$ o $n$ es impar, entonces $r_1=1$ o $r_2=1,$ $m^2+mn+n^2$ es impar. Por contrapositivo, si $m^2+mn+n^2$ es incluso, $m$ $n$ son incluso.

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Esto se vuelve más fácil si usted está familiarizado con la aritmética modular. El (bruto) idea en este caso es que tratamos a cada múltiplo de $2$, al igual que cero. Esto simplifica nuestra tarea mucho, para, a continuación,$$\begin{align}m^2+mn+n^2 &= (2k_1+r_1)^2+(2k_1+r_1)(2k_2+r_2)+(2k_2+r_2)^2\\ &\equiv_2 (0+r_1)^2+(0+r_1)(0+r_2)+(0+r_2)^2\\ &= r_1^2+r_1r_2+r_2^2\\ &= r_1+r_1r_2+r_2,\end{align}$$ so again, the problem reduces to considering $r_1+r_1r_2+r_2,$ and in particular, showing that $m^2+mn+n^2\equiv_20$ if and only if $r_1,r_2=0.$ Once again, one direction of the implication is easy. For the other, if $r_1=1,$ then $m^2+mn+n^2\equiv_2r_1+r_1r_2+r_2=1+2r_2\equiv_21.$ Likewise if $r_2=1.$

Answer 4

Observando: $$m^2+mn+n^2=(m+n)^2-mn$ $

Si aún así es $mn$ y $(m+n)^2$ son incluso.

Significa (m + n) es aun asi m y n son incluso.

Answer 5

Creo que la más evidente de las formas de hacerlo es observar que para las expresiones que involucran sólo la suma, la resta y la multiplicación (como $m^2+mn+n^2$; resta ni siquiera se utiliza aquí) siempre se puede deducir de la paridad de las paridades de todos los ingredientes (aquí $m$$n$). La razón es que usted puede hacer esto para cada básicas de suma, resta y multiplicación utilizado, de trabajo de menor a mayor las subexpresiones. Desde que hace sólo $2\times2=4$ posibilidades en todos, se convierte en una obviedad: para todas las combinaciones de las paridades de $m$$n$, calcular la paridad de $m^2+mn+n^2$. Sólo en caso de que ambos $m$ $n$ son incluso hace que el resultado de convertirse, incluso, en los otros tres casos se vuelve extraño. Esta comprobación está perfectamente bien como una prueba.

Por supuesto, uno prefiere otro método si había una docena de diferentes variables en el problema.