Operador lineal compacto de $L^p (\mathbb R)$ a $L^p (\mathbb R)$

Question

Quería probar la siguiente pregunta desde hace una semana pero no pude conseguir ni una sola idea al respecto. Esta es la pregunta: si $m : \mathbb R \to \mathbb R$ una función medible $1 \le p <\infty $ y el operador $T : L^p (\mathbb R) \to L^p (\mathbb R)$ definido por

$(Tf)(s) := m(s)f(s)$ para todos $f \in L^p (\mathbb R) $ con $D \subset L^p(\mathbb R)$ , $D =\{f\in L^p ( \mathbb R) : m.f\in L^p(\mathbb R)\}$

Mi principal objetivo es conocer $T$ es compacto si y sólo si $m=0$ casi en todas partes . y también me pregunto si se define en todo el espacio $L^p(\mathbb R)$ y si $T$ está acotado .

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Parte 1 : Para mostrar $T$ es compacto $\Rightarrow$ $m=0$ a.e, suponer que existe un conjunto medible $E$ con $\lambda(E)>0$ , de tal manera que $|m|\ge \epsilon>0$ en $E$ . Aquí $\lambda$ denota la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$ . Entonces basta con demostrar que $T$ no es compacto.

Es fácil construir una secuencia de conjuntos medibles $(E_n)_{n\ge 1}$ , tal que: (i) son disjuntos entre sí, (2) $\cup_n E_n=E$ y (iii) $\lambda(E_n)=2^{-n}\lambda(E)$ .

Ahora dejemos que $f_n=2^{n/p}\chi_{E_n}$ . Entonces $\|f_n\|_p=\lambda(E)^{1/p}$ y $$\|Tf_n-Tf_k\|_p\ge\epsilon \|f_n-f_k\|_p=(2\lambda(E))^{1/p}\epsilon, \quad\forall n\ne k.$$

Por lo tanto, la secuencia $Tf_n$ no tiene subsecuencia de Cauchy, lo que implica que $T$ no es compacto.

Parte 2 : $T$ está bien definida en el conjunto $L^p(\mathbb{R})$ si y sólo si $\|m\|_\infty<\infty$ y en esta situación, $\|T\|=\|m\|_\infty<\infty$ .

Por un lado, si $\|m\|_\infty=\infty$ podemos encontrar una secuencia de conjuntos medibles $(E_n)_{n\ge 1}$ , tal que: (i) son disjuntos entre sí, (ii) $\lambda_n:=\lambda(E_n)>0$ y (iii) $|m|\ge 2^n$ en $E_n$ . Entonces, defina $f=\sum_{n=1}^\infty2^{-n}\lambda_n^{-1/p}\chi_{E_n}$ . Por definición, $$\|f\|_p^p=\sum_{n=1}^\infty\int_{E_n} 2^{-np}\lambda_n^{-1} dx\le \sum_{n=1}^\infty2^{-np}\le 1,$$

y $$\|Tf\|_p^p=\sum_{n=1}^\infty\int_{E_n} 2^{-np}\lambda_n^{-1}|m(x)|^pdx\ge\sum_{n=1}^\infty\int_{E_n} \lambda_n^{-1}dx= \infty.$$ Por lo tanto, $T$ no está bien definida en su totalidad $L^p(\mathbb{R})$ .

Por un lado, si $\|m\|_\infty<\infty$ entonces, por definición $\|T\|\le\|m\|_\infty<\infty$ es decir $T$ está bien definida en todo $L^p(\mathbb{R})$ y delimitado. Además, para cada $\epsilon>0$ existe un conjunto medible $E$ , de tal manera que $0<\lambda(E)< \infty$ y $|m|\ge \|m\|_\infty-\epsilon$ en $E$ . Para $f=\chi_E$ es fácil ver que $0<\|f\|_p<\infty$ y $\|Tf\|_p\ge(\|m\|_\infty-\epsilon)\|f\|_p>0$ y se deduce que $\|T\|=\|m\|_\infty$ .