Problema del valor máximo

Question

Una función de $\hspace{0.1cm}$$f:[0,1]\to[-1,1]$$\hspace{0.1cm}$ satisfactoria $\hspace{0.1cm}$ $|f(x)|\leq x$$\hspace{0.1cm}$ $\forall x\in[0,1]$.

Entonces encontrar el valor máximo de:

$|\int_{0}^{1}(f^2(x)-f(x))dx|$

Mi intento:

$|\int_{0}^{1}(f^2(x)-f(x))dx|\leq \int_{0}^{1}|f^2(x)-f(x)|dx\leq \int_{0}^{1}(|f^2(x)|-|f(x)|)dx\leq \int_{0}^{1}(x^2-x)dx=-\frac{1}{6}$

Pero no es posible porque el valor absoluto siempre es mayor que igual a cero. Por favor alguien me ayude a encontrar su valor máximo. Gracias

Answer 1

\begin{align} \left|\int_{0}^{1} f(x)^{2} - f(x) \,\mathrm{d}x \right| \le \int_{0}^{1} |f(x)|^{2} + |f(x)| \, \mathrm{d}x \le \int_{0}^{1} x^{2} + x \, \mathrm{d}x = \frac{5}{6}. \end {Alinee el} por lo que el máximo es a más $5/6$. Sin embargo, que $f(x) = -x$. \begin{align} \left|\int_{0}^{1} f(x)^{2} - f(x) \,\mathrm{d}x \right| = \int_{0}^{1} x^{2} + x \, \mathrm{d}x = \frac{5}{6}. \end {Alinee el} por lo que el máximo es $5/6$.