Demostrar que $[0,1]$ no es isométrica con respecto a $[0,2]$ .

Question

Demostrar que $[0,1]$ no es isométrica con respecto a $[0,2]$ .

Supongamos que existe una isometría $f:[0,1]\to[0,2]$ . Como f es continua y suryente, los únicos valores para $f(0)$ y $f(1)$ son $f(0)=0$ y $f(1)=2$ o $f(0)=2$ y $f(1)=0$ . En cualquier caso, $|f(1)-f(0)|=2$ . Esto contradice $f$ siendo la preservación de la distancia.

¿Esto es correcto?

Answer 1

Este

Como f es continua y suryente, los únicos valores de f(0) y f(1) son f(0)=0 y f(1)=2, o f(0)=2 y f(1)=0.

no es un argumento riguroso. Deberías argumentarlo con más precisión (y dudo que sea fácil hacerlo...). Pero, en realidad, no es necesario exponer un resultado tan contundente.

Supongamos que $[0,1]$ y $[0,2]$ están dotados de la métrica del valor absoluto $|\cdot |$ y supongamos que $f:[0,1] \to [0,2]$ es una isometría sobreyectiva. Entonces hay $x,y  \in [0,1]$ tal que $f(x) = 0$ y $f(y) = 2$ y como $f$ es una isometría tenemos $$|x-y| = |f(x)-f(y)| = |0-2|=2.$$ Esto es absurdo ya que $$\sup_{v,w \in [0,1]} |w-v| = |0-1| = 1<2. $$

Answer 2

El diámetro de un espacio métrico es el sumo, tomado sobre todos los pares de puntos del espacio, de la distancia entre los puntos del par. Para un espacio métrico compacto el diámetro es finito y se alcanza para algún par de puntos del espacio. Los espacios métricos isométricos tienen el mismo diámetro. Los espacios $[0, 1]$ y $[0, 2]$ con la métrica de Eucliden tienen los distintos diámetros $1$ y $2$ (obviamente), por lo que no son isométricos.