¿Cuál sería la forma efectiva para estudiar matemáticas avanzadas?

Question

Soy un recién graduado con matemáticas grado, pero yo todavía no creo que entendí de verdad todos los cursos difíciles, especialmente el análisis real. Mi profesor me dijo durante su conferencia que nadie realmente entiende este material, que acaba de acostumbrarse a él. Me sentía frustrado porque me parecía estar estudiando en su mayoría el uso de mi memoria, en lugar de realmente entender los teoremas. Estoy estudiando sobre el libro que he usado para mi introducción al análisis real porque realmente quiero sentir como me enteré de lo real análisis.

Ahora, es más fácil para mí entender la idea de las pruebas, pero todavía creo que no me va a venir con estas pruebas por mi cuenta. Yo estoy haciendo la prueba de análisis que es, básicamente, la re-escritura de las pruebas en mis propias palabras. Pero sería un muy eficiente manera de estudiar análisis real? Debo seguir tratando de demostrar los teoremas en mi propia aunque puede que me tome un día entero, o incluso una semana? O debo tratar de llegar con mi propia prueba? Me siento como aflojando a través de las clases sin hacer matemáticas a pesar de que yo obtenía buenas calificaciones en la final. A veces siento que no tengo ningún talento en hacer matemáticas así que ¿por qué debería siquiera se moleste en tratar. Por favor me dan consejos sobre cómo puedo más efectiva de estudiar y aprender matemáticas de nivel superior.

Answer 1

Creo que los verdaderos obstáculos en la comprensión de cualquier tema son: 1)la falta de buenos libros, 2)la falta de buenos maestros y 3)la falta de interés. Usted tiene una opción en la fijación de 1) y 3).

Para el análisis real debe tener una idea completa de lo que los números reales son y cómo son diferentes de los racionales. Desafortunadamente la mayoría de los libros de texto omitir esta parte y saltar en el carro de análisis de los conceptos de límites y continuidad/derivados/integrales. Y usted tiene que seriamente dejar de pensar en términos de manipulación algebraica de los símbolos. Análisis Real es que se trate con el fin de las relaciones de los números reales (densidad) y no el campo de las operaciones de $+, -, \times, /$. Lamentablemente la mayoría de los libros de texto intenta tratar a los análisis también en la mecánica de la moda mediante el desarrollo de mecanismos de manipulación de símbolos, casi igual que en el álgebra.

Una de estas técnicas de manipulación de símbolos es el uso de inútil $\epsilon, \delta$ ejercicios y algunos libros también ir a los extremos para indicar que estos ejercicios son en su mayoría algebraicas en la naturaleza casi equivalente a la solución de las desigualdades con el fin de obtener $\delta$ como algunos expresión algebraica en $\epsilon$. Esto es tan contra-intuitivo para todo el espíritu de análisis. Tal vez un estudiante que es mucho mejor si él se entera de la $\epsilon, \delta$ técnicas de las pruebas de varios límite de las leyes en lugar de tratar estos inútiles ejercicios.

Otro aspecto clave en el análisis es un entendimiento muy claro de la completitud de los números reales (y de su expresión en diversas formas). Sin esto no se puede hacer nada en el análisis. Todos los importantes teoremas de análisis se basan en él. Este tema no es difícil, pero rara vez análisis de libros de texto se centran en este aspecto. En lugar de ello es que acaba de ser presentado como una línea axioma y, a continuación, se utiliza en casi todo en la demostración de teoremas.

Yo sugeriría dos libros: Un Curso de Matemáticas Puras por G H Hardy y el Análisis Matemático por Tom M Apostol que no tienen estos inconvenientes y usted debe estudiar en ese orden. No resultan tan popular como Rudin libros pero son mucho mejor si su objetivo es la comprensión de análisis en lugar de obtener buenas calificaciones en algún examen.