Demostrar que existe un número $n \gt 6$ que no divide $1 \lt k \lt n/2$ $n$,

Question

Mi hijo de nueve años le hizo esta pregunta durante el almuerzo de hoy: ¿hay un número que es divisible por todo lo que es la mitad o menos que el número?

Yo inmediatamente le respondí, "Nº es decir, 6. "Pero no para cualquier número mayor que 6.

Así que intenté pensar por qué eso era verdad, y mis primeros esfuerzos no bastante. Lo hice con una prueba, pero no es tan elegante como esperaba.

¿Cómo probaría?

Answer 1

Si $n\geq 7$ y $n$ es divisible por todos los números menos entonces divide a $\frac{n}{2}$, $n$ es uniforme y podemos deducir fácilmente que $\frac{n}{2}(\frac{n}{2}-1)$ $n$ (porque $\gcd(\frac{n}{2},(\frac{n}{2}-1))=1$) y lo más importante: $$\frac{n}{2}(\frac{n}{2}-1)\leq n$ $

donde: $n-2=2(\frac{n}{2}-1)\leq 4$ % que $n\leq 6$

Answer 2

Desde $n>6$, tenemos que $2<3 <n/2$, así que es divisible por $n$$2$ y $3$.

Desde $n=2\cdot\frac{n}{2}$ y $\frac{n}{2}-1<\frac{n}{2}$, $\frac{n}{2}-1$ $n$ divide. $\frac{n}{2}−1$ debe tener el codivisor más pequeño siguiente, que es $3$, así que debe ser igual al $\frac{n}{3}$.

Resolución de $\frac{n}{2}-1=\frac{n}{3}$ da $n=6$, una contradicción a $n>6$. Así, $6$ es el más grande tal número entero positivo.

Answer 3

Set $t=\lfloor \sqrt{n}\rfloor$. Por el postulado de Bertrand, siempre $t>3$, hay un primer $p$$t<p<2t-2$. Por Bertrand postulado de nuevo, hay un primer $q$$2t-2<q<4t-6$. El producto $pq>t^2\ge n$, por lo que no es posible que tanto $p,q$ son divisores de $n$. Por lo tanto, hay un cierto número $k$ no dividiendo $n$, la satisfacción de $$1<k<4\lfloor \sqrt{n}\rfloor-6$$

Para todos los $n$, esta es una mejor vinculados a $n/2$. Sin embargo, tenemos necesidad $\lfloor \sqrt{n}\rfloor >3$, es decir,$n\ge 16$. Para los más pequeños de $n$ necesitamos comprobar con la mano, como lo has hecho.

Answer 4

$\sqrt{n}<\frac{n}{2}-2$ Si $n \geq 12$. Esto significa que no es posible después de 12. También es falso números pequeños entre 7 y 12.

Answer 5

Si n es impar, $f=\frac{n-1}2$ es un entero menor que $\frac n2$. $2f=n-1$, si $f\gt1$de % f no es un factor de n. if $f\gt1$ y $n\gt3$, así que para todos los impares $n\gt3$ n hay un número f que no es un factor. Si n es par, $f=\frac{n-2}2$ es un entero menor que $\frac n2$. $2f=n-2$, si $f\gt2$de % f no es un factor de n. if $f\gt2$ y $n\gt6$, así que para todos incluso $n\gt6$ n allí es un número f que no es un factor.