¿Es una función convexa de $f(x) = x^T A x$?

Question

¿Es una función convexa, el $f(x) = x^T A x$ donde $x \in \mathbb{R}^n$, y una matriz de $A$ $ n\times n$?

¿Si no, mi pregunta se puede reformar para: cuando es $f(x)$ convexo, cualquier restricción $A$? ¿Por ejemplo, como positivo definido y simétrico?

Answer 1

La condición necesaria y suficiente para la función $f(x)=x^TAx$ a ser convexa es que $A+A^T$ positivo semidefinite.

Razón: $A+A^T$ es la matriz del Hessian de $f$.

Answer 2

Esto no es una función convexa para cualquier valor de $n$. Que $A$ sea la matriz de $n\times x$ $-1$ a lo largo de la diagonal principal y $0$ en todas partes. Entonces $f(x)=-||x||^2$ que siempre es una función cóncava.