Probar las siguientes condiciones son equivalentes

Question

Tengo que probar las cuatro condiciones son equivalentes. Supongo que debo proceder con (a) implica (b), (b) implica (c), (c) implica (d), y (d) implica (a)?

He conseguido (a) implica (b), (b) implica (a) y (b) implica (d). Yo estoy luchando con (b) implica (c) y (c) implica (d) y (d) implica (a) aunque.

Aquí está el problema y mi trabajo hasta el momento:

Deje $ f: G → H $ ser un homomorphism de grupos, y sea a y b elementos de G. sea K el kernel de $f$. Demostrar que las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) $f(a)=f(b)$

(b) $a^{-1}b$ $K$

(c) $b$ es en el coset $aK$

(d) Los cosets $bK$ $aK$ son iguales

Tengo hasta ahora: Supongamos que $f(a)=f(b)$. A continuación, $f(a^{-1}b) = f(a^{-1})f(b) = f(a)^{-1}f(b)=1.$ por lo Tanto, $a^{-1}b$ está en el núcleo en K. Si $a^{-1}b$$K$,$1 = f(a^{-1}b)=f(a)^{-1}f(b)$, lo $f(a)=f(b)$. Esto muestra que las dos primeras condiciones son equivalentes. Tengo un largo argumento de que no lo voy a poner aquí para saber cómo (b) implica (d).

Ahora, ¿cómo puedo demostrar que (b) implica (c), (c) implica (d), y (d) implica (a)?

Gracias.

Answer 1

$\bbox[5px,border:2px solid #4B0082]{(b)\implies (c)}$

$$\begin{align} a^{-1}b\in K&\implies (\exists k\in K)(a^{-1}b=k)\\ &\implies (\exists k\in K)(b=ak)\\ &\implies b\in aK \end {Alinee el} $$

$\bbox[5px,border:2px solid #4B0082]{(c)\implies (d)}$

Supongamos que $b\in aK$. Existe $k\in K$ tal que $b=ak$.

1. $\bbox[5px,border:2px solid #7FFF00]{bK\subseteq aK}$
   Que $x\in bK$. Existe $\overline k\in K$ tal que $x=b\overline k$. Sigue que $x=b\overline k=a\underbrace{k\overline k}_{\large \in K}$ y $x\in aK$.
2. $\bbox[5px,border:2px solid #7FFF00]{aK\subseteq bK}$
   Que $x\in aK$. Existe $\overset{\sim}k\in K$ tal que $x=a\overset{\sim}k$. Por lo tanto $x=a\overset\sim k=b\,\underbrace{k^{-1}\overset{\sim} k}_{\large \in K}\in bK$.

Sigue que $aK=bK$ como quería.

$\bbox[5px,border:2px solid #4B0082]{(d)\implies (a)}$

$$\begin{align} aK=bK&\implies (\forall k\in K)(\exists k'\in K)(ak=bk')\\ &\implies (\forall k\in K)(\exists k'\in K)(a=bk'k^{-1})\\ &\implies (\forall k\in K)(\exists k'\in K)(f(a)=f(bk'k^{-1}))\\ &\implies (\forall k\in K)(\exists k'\in K)\left(f(a)=f(b)f(\underbrace{k'k^{-1}}_{\large \in \ker (f)})\right)\\ &\implies (\forall k\in K)(\exists k'\in K)(f(a)=f(b))\\ &\implies f(a)=f(b)\end {Alinee el} $$