Prob 8, Sec 7 en Munkres' TOPOLOGY 2nd ed: ¿Cómo demostramos que estos conjuntos tienen la misma cardinalidad?

Question

Aquí está la Prob. 8. Sección 7 en Topología por James R. Munkres, 2ª edición:

Dejemos que $X$ denotan el conjunto de dos elementos $\{0,1\}$ ; dejar que $\mathscr{B}$ sea el conjunto de contable subconjuntos de $X^{\omega}$ . Demostrar que $X^{\omega}$ y $\mathscr{B}$ tienen la misma cardinalidad.

Aquí $X^{\omega}$ denota el conjunto de todas las secuencias binarias infinitas (es decir, el conjunto de todas las funciones, cada una de las cuales tiene como dominio el conjunto $\mathbb{N}$ de números naturales y rango un subconjunto (no vacío) de $\{0,1\}$ ).

Mi esfuerzo:

Utilizando el teorema de Schroeder Bernstein, nuestro objetivo es demostrar la existencia de mapas inyectivos $f \colon X^{\omega} \to \mathscr{B}$ y $g \colon \mathscr{B} \to X^{\omega}$ .

Podemos definir $f$ de la siguiente manera: $$f(s) \colon= \{s\} \ \mbox{ for all } \ s \in X^{\omega}.$$

Cómo definimos nuestro mapa deseado $g$ ?

Answer 1

No se puede definir del todo una inyección de $\scr B$ en $X^\omega$ . La razón es que es consistente con el fracaso del axioma de elección que no hay tal inyección.

Esto significa que, en algún momento, hay que recurrir al axioma de elección. Por suerte, podemos afinar una suryección de $X^\omega$ en $\scr B$ Al observar que $(X^\omega)^\omega$ y $X^\omega$ tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, podemos pensar en cada elemento de $X^\omega$ como codificación de una secuencia de elementos de $X^\omega$ .

¿Ves cómo eso te ayuda a obtener la sobreinyección?

Answer 2

Supongamos que tengo una secuencia contable $C=(S_n)_{n\in\omega}$ de secuencias binarias infinitas - digamos, $S_n=(a_i^n)_{i\in\mathbb{N}}$ . Puedo ver $C$ como $\omega$ -por- $\omega$ conjunto de $0$ s y $1$ s. ¿Puedes ver cómo convertir un $\omega$ -por- $\omega$ en una secuencia infinita? (SUGERENCIA: ¿por qué es $\mathbb{N}^2\cong\mathbb{N}$ ?)

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Vale, bien, lo anterior hablaba de contables secuencias de elementos de $X^\omega$ . Pero, ¿cómo se compara el conjunto de subconjuntos contables con el conjunto de secuencias contables?