Secuencia es red universal si y sólo si eventualmente constante

Question

Definición: Una red en un espacio topológico $X$ es universal si por cualquier $A\subseteq X$, la red es el tiempo en $A$ o es el tiempo en $X\setminus A$.

Problema: Una secuencia es un universal neta si y sólo si es que finalmente constante.

He demostrado que si una secuencia es el tiempo constante, entonces es universal. Estoy tratando de averiguar la otra dirección.

Mi intento: Vamos a $X$ ser un espacio topológico, $\Phi \colon \mathbb{Z}^+ \to X$ ser una secuencia, y supongamos $\Phi$ no es eventualmente constante. Considerar dos casos.

Caso 1: Hay un elemento $x_0\in X$ tal que $\Phi(n) = x_0$ para infinidad de $n$. En este caso, vamos a $A = \{x_0\}$. Entonces, dado cualquier $n$ existe $m\geq n$ $k\geq n$ tal que $\Phi(m) = x_0\in A$$\Phi(k) \neq x_0$$\Phi(k) \notin A$. Por lo tanto $\Phi$ no puede ser eventualmente en $A$ ni puede ser eventualmente en $X\setminus A$, lo $\Phi$ no es universal.

Caso 2: Hay infinitamente muchos elementos en $\Phi(\mathbb{Z}^+)$, cada uno que aparece un número finito de veces en la secuencia.

Para finalizar el caso 2, ahora me gustaría definir dos disjuntas subsecuencias (en la que no se comparten elementos comunes), que creo que debería ser posible. Este sería, a continuación, terminar la prueba. Sin embargo, no puedo pensar en una manera de hacer esto con precisión.

Pregunta: Es esto una prueba de que van en la dirección correcta?

Answer 1

La idea en realidad es dividirla en dos subsecuencias.

Deje $\Phi: \mathbb{Z}^+ \to X$ ser su secuencia, que es un universal de la red. Supongamos que $\Phi$ es no finalmente constante. Vamos a obtener una contradicción:

Deje $x$ ser cualquier valor de la secuencia, de manera que un punto en $\Phi[\mathbb{Z}^+]$. Como $\Phi$ no es, finalmente, constante, no es, finalmente, en $\{x\}$, por lo que al ser un universal de la red, debe ser, finalmente, en $X \setminus \{x\}$, así que después de algunas inicial finito segmento, todos los valores son iguales a $x$. Esto demuestra que $x$ aparece en la mayoría de un número finito de veces como un valor. Como $x$ fue arbitraria, todos los valores de la secuencia aparece un número finito de veces, y por lo tanto lo $\Phi[\mathbb{Z}+]$ es infinito.

Ahora dividir ese conjunto de imágenes en dos distintos conjuntos infinitos $A$$B$. Ahora $\Phi$ no puede ser, finalmente, en $A$ (a partir de un número finito de segmento de inicio no puede agotar todos los valores que están en $B$, por lo que siempre hay puntos más allá de los valores en $B$, que no están en $A$), y simétricamente, no puede ser, finalmente, en $X\setminus A$. Esto contradice la universalidad de la secuencia.

Así que la suposición de led a una contradicción, y $\Phi$ finalmente es constante.