Ejemplos de sistema abierto

Question

(1) Es $U=\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x^2+y^2 \neq 1\}$ abierta en $\mathbb{R^2}$?

(2) ¿Cómo puedo mostrar $(a,b)\times(c,d)$ está abierto en $\mathbb{R^2}$?

(3)Es $S=\{(x,y)\in \mathbb{R^2}:xy\neq 0\}$ abierta en $\mathbb{R^2}$?

En todos estos ejemplos que dibujar la figura en (1) es parte interior del círculo y la parte exterior del círculo, de modo que puedo dibujar cualquier esfera con un poco de radio también se contiene en el conjunto.

Argumento Similar para (2), que es rectángulo región en $\mathbb {R^2}$ y en el (3) es no acotada región sin que contienen X y el eje y. Es muy claro a partir de la geometría, pero Alguien me ayude, ¿cómo puedo probar todos estos tres conjuntos se abre mediante la definición de conjunto abierto o triángulo de la desigualdad? Si es posible me den algunos consejos. Gracias de antemano.

Answer 1

(1) y (3) sería más fácil probar los complementos están cerrados. Se puede demostrar que se cierra el círculo de la unidad, mostrando que cada secuencia en el círculo de la unidad tiene límite en el círculo unitario. Y semejantemente para (3) fueron usted puede comprobar que todos los puntos límite están en el % de líneas $x=0$o $y=0$.

Answer 2

Están todos abiertos. Vamos a hacer la Pregunta $(3)$, muy formalmente. Las ideas de los demás son el mismo.

Nuestra región es el plano con la unión de los dos ejes eliminado. Deje $(a,b)$ en nuestra región, y deje $\epsilon=\min(|a|, |b|)$. A continuación, $\epsilon$ es positivo.

Ahora, considere el disco abierto $D$ de centro $(a,b)$ y radio de $\epsilon$, o, si se quiere un poco de margen, radio $\epsilon/2$. Me dicen que todos los de $D$ es en nuestra región. Que muestra que no es una "bola", el centro de la $(a,b)$ que se encuentra en su totalidad en nuestra región. Esa es una de las definiciones de conjunto abierto en un espacio métrico, espero que el oficial que está utilizando en su curso.

Tenemos que mostrar que no hay ningún punto en la unión de los dos ejes que se encuentra en $D$. Tenga en cuenta que $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ge \max(|x-a|,|y-b|)$. Si $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\lt \epsilon$ ,$\max(|x-a|, |y-b|)\lt \epsilon$.

Pero por la elección de $\epsilon$,$|0-a|\ge \epsilon$, e $|0-b|\ge \epsilon$. De ello se sigue que no hay ningún punto en $D$ puede estar en cualquiera de los ejes.

Comentario: Hay mucho menos a este argumento que cumple el ojo! Tomemos, por ejemplo, $(a,b)$ en el primer cuadrante, pero no en un eje. Deje $\epsilon$ ser el menor de $a$$b$. A continuación, el (abierto) disco con centro de $(a,b)$ y radio de $\epsilon$ no puede encontrar un eje.

Answer 3

(2) es abierto por definición, en algún sentido. Es el producto de abrir los intervalos y si tienes que elegir un punto en este producto, usted puede encontrar fácilmente un radio pequeño, tal que la bola con este radio se encuentra dentro de $(a,b) \times (c,d)$. Es una cuestión de elemental de la geometría. Para (1) y (2), considerar sus complementos, y demostrar que son cerrados. El complemento de $S$ es la unión de los dos ejes, mientras que el complemento de $U$ es un círculo. Pero un enfoque directo, también es fácil: vamos a ver en el caso (3).

Pick $(x_0,y_0) \in S$, por lo que el$x_0 \neq 0$$y_0 \neq 0$. Deje $R=\min\{|x_0|,|y_0|\}$ y corregir $0<r<R$. El círculo de $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 < r$ se encuentra en $S$, ya que no se toquen los ejes.

Answer 4

Por supuesto, uno puede trabajar con buena edad $\varepsilon$ a mostrar apertura, a pesar de que un par de simples teoremas haría la vida más fácil (preimages de abrir conjuntos de bajo funciones continuas son abiertas, etc., pero si no "ver" que estos conjuntos son abiertos, usted probablemente no está seguro acerca de las funciones en (1) y (3) ser continua.

(1) Supongamos $(x_0,y_0)\in U$. A continuación,$x_0^2+y_0^2\ne 1$, es decir,$d((x_0,y_0),(0,0))\ne 1$. Queremos encontrar a $\epsilon>0$ tal que $d((x_0,y_0),(x,y))<\epsilon$ implica $(x,y)\in U$. Por la desigualdad de triángulo, $|d((x_0,y_0),(0,0))-d((x,y),(0,0))|\le d((x_0,y_0),(x,y))$, por lo tanto dejando $\epsilon = |d((x_0,y_0),(0,0))-1|>0$ el truco: $d((x_0,y_0),(x,y))<\epsilon$ implica que el $|d((x_0,y_0),(0,0))-d((x,y),(0,0))|<|d((x_0,y_0),(0,0))-1|$, por lo tanto $d((x,y),(0,0))$ no puede igualar $1$. Por lo tanto,$(x,y)\in U$.

(2) Si $(x_0,y_0)\in U$,$a<x_0<b$$c<y_0<d$. A continuación,$\epsilon:=\min\{x_0-a, b-x_0, y_0-c, d-y_0\}$$>0$. A continuación, $d((x_0,y_0),(x,y))<\epsilon$ implica que por ejemplo,$|x-x_0|<\epsilon$$|y-y_0|<\epsilon$, por lo tanto $x>x_0-\epsilon\ge x_0-(x_0-a)=a$, y del mismo modo $x<b$, $y>c$, $y<d$. Por lo tanto,$(x,y)\in U$.

(3) Si $(x_0,y_0)\in U$$x_0\ne0$$y_0\ne 0$. Por lo tanto,$\epsilon:=\min\{|x_0|,|y_0|\}$$>0$. A continuación, $d((x_0,y_0),(x,y))<\epsilon$ implica $|x-x_0|<\epsilon\le|x_0|$, por lo tanto $x$ no puede ser $0$. Del mismo modo llegamos a la conclusión de $y\ne0$. De ello se desprende que $xy\ne0$, es decir,$(x,y)\in U$.