¿Qué es $\inf\emptyset$ y $\sup\emptyset$?

Question

Me dijeron que $\sup\emptyset=-\infty$ y $\inf\emptyset=\infty$, donde $\emptyset$ es el conjunto vacío. Esto parece paradójico en cuanto a cómo puede ser supremum inferior infimum. ¿Hay alguna prueba para esto o es tomado por sentado?

Answer 1

En el contexto de la extensión de la real número de línea (es decir, los números reales y $\pm \infty$), esto es cierto. No es difícil de demostrar - el supremum de un conjunto se define como la menor cota superior del conjunto. Cada número* es una cota superior para el conjunto vacío (desde el "límite superior" significa "mayor que o igual a cada elemento"). Así que, por lo menos el límite superior es el menor número que es $-\infty$. Esto actúa de manera similar para el infimum.

Estoy de acuerdo en que es contrario a la lógica - es, de hecho, el único caso donde el supremum es menor que el infimum. Sin embargo, se sigue de la definición. Una manera de pensar acerca de esto es que el supremum de un conjunto $S$ es lo que tenemos, si tomamos un punto, y arrastre hacia abajo de $\infty$ hasta que no puede bajar más sin golpear $S$ y el infimum es lo que pasa si tomamos un punto y arrastre hacia arriba de $-\infty$ hasta que llega a la $S$. Que es, que tipo de imaginar $S$ como una infranqueable bloque de cosas, y el supremum y infimum se sujetan a los lados de la misma. Pero si no es $S$, entonces no hay ningún bloque, y como nos abrazadera de estos puntos juntos, simplemente pasan a través de cada uno de los otros y seguir adelante - que siempre había movimiento hacia el interior, pero ahora nada los detiene, por lo que terminan en $-\infty$ $\infty$ respectivamente, por lo que se puede ir.

(*"Número", en el sentido de "elemento de la extensión de la línea real")

Answer 2

Puesto que cada número real $x$ es un límite superior de $\emptyset$, $x \ge \sup \emptyset$ % todos $x\in \Bbb R$. Por lo tanto $\sup \emptyset = -\infty$. Un razonamiento similar da $\inf \emptyset = +\infty$.

Answer 3

Si nos fijamos en la definición de supremum:

Decimos que $x$ es el supremum de una conjunto de $S$ $x$ es el menos límite superior de $S$. Es decir, $x \geq s$ % todo $s \in S$y $x \leq y$ para cualquier $y$ que es un límite superior de $S$.

Así que si tenemos en cuenta $\emptyset$, cada $x\in \mathbb{R}$ es un límite superior de $\emptyset$. Así el supremum de $\emptyset$ debe ser $\min(\mathbb{R})$, que suele ser $-\infty$.

Podemos razonar del mismo modo para el infemum.