¿Que racionales $x$ es $3x^2-7x$ un entero?

Question

El siguiente ejercicio es de [Birkhoff y MacLane, Una Encuesta de la Moderna Álgebra]:

Para que los números racionales $x$ $3x^2-7x$ un número entero? Encontrar condiciones necesarias y suficientes.

Creo que yo era capaz de obtener el conjunto de los racionales $x$, pero no estoy seguro de lo que las condiciones necesarias y suficientes. Aquí es lo que he intentado: Supongamos $3x^2-7x=k, k \in \mathbb{Z}$. La solución de la ecuación cuadrática, obtenemos $x=\frac{7 \pm \sqrt{49+12k}}{6}$, de donde $49+12k$ debe ser el cuadrado de un número entero $m$. Ahora $m^2 \equiv 49 (\operatorname{mod} 12)$ tiene soluciones $m = 1,5,7,11 (\operatorname{mod} 12)$, es decir,$m \in \{1,5,7,11\}+12 \mathbb{Z}$. Por lo tanto, el conjunto de los racionales $x = \frac{7 \pm m}{6}$$\{0,\frac{1}{3} \}+\mathbb{Z} = \{\ldots,0, \frac{1}{3}, 1, \frac{4}{3}, \ldots \}$. Es esto correcto? ¿Cómo son las condiciones necesarias y suficientes referencia?

Answer 1

Lo que has encontrado se llama "condiciones necesarias" a $x$ $3x^2-7x$ para ser un número entero, así llamado porque si fallan las condiciones, entonces $3x^2-7x$ no será un entero. "Condiciones suficientes" son condiciones en $x$ que, si continúan, se supone que $3x^2-7x$ es un entero. Sus condiciones en $x$ son también condiciones suficientes, como puede comprobar. Cuando decimos "condiciones necesarias y suficientes", nos referimos a condiciones equivalentes, o exacto.

Answer 2

Su solución es correcta, pero aquí, tal vez más simple.

Escribir $x=u/v$ con $u$, $v$ coprime enteros y $v>0$. A continuación, $3x^2-7x$ es un número entero iff $v^2$ divide $3u^2-7uv$. Esto implica que $v$ divide $3u^2$. Desde $u$ $v$ son coprime, conseguimos que los $v$ divide $3$, $v=1$ o $v=3$.

Cuando $v=1$, $x$ es un número entero, no hubo sorpresas.

Al $v=3$, obtenemos que $9$ divide $3u^2-21u$ $3$ divide $u^2-u=u(u-1)$. Desde $u$ $v=3$ son coprime, conseguimos que los $3$ divide $u-1$, $u=1+3t$$x=t+1/3$, $t$ un entero arbitrario.

Esto coincide con la solución, por supuesto.