Estoy trabajando en la siguiente asignación:
Definir la ponderación de la $L^2$espacio $L^2_s$ $\mathbb{R}^n$ a la finalización de $C_{\text{comp}}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ con la norma $$ \|f\|_{L^2_s}=\left(\int_{\mathbb{R}^n}(1+|x|^2)^s|f(x)|^2d^nx\right)^{1/2}. $$ Mostrar que $H^1\subset L^2_s$ es un compacto de la incrustación de al $s<0$.
Aquí compactar "incrustar" significa que cada uniformemente acotada secuencia en la $H^1$ tiene una larga que es de Cauchy en $L^2_s$. Pero desde $L^2_s$ es sólo $L^2(\mathbb{R}^n,\mu_s)$ con la medida $d\mu_s=(1+x^2)^sd\mathcal{L}^n$ (aquí se $\mathcal{L}^n$ es la medida de Lebesgue), $L^2_s$ es completa y esto es lo mismo que decir que cada uniformemente acotada secuencia en la $H^1$ tiene un convergentes larga en $L^2_s$.
Pensamientos
He pasado los últimos 2-3 días pensando acerca de este problema, pero en vano. Me está volviendo loco. Aquí hay un par de mis pensamientos/observaciones:
- Por lo suficientemente pequeño como $n$ $|s|$ lo suficientemente grande, $L^2_s=L^2(\mathbb{R}^n,\mu_s)$ es de un número finito de medir el espacio desde $s<0$.
- La transformada de Fourier es una unitario isomorfismo de$L^2_s=L^2(\mathbb{R}^n,\mu_s)$$H^s$.
- $\|f\|_{L^2_s}\leq\|f\|_{L^2}\leq\|f\|_{H^1}$, por lo que da un uniformemente acotada larga $\{f_k\}\subset H^1$, $\big\{\|f_k\|_{L^2_s}\big\}$ es uniformemente acotada y, por tanto, podemos encontrar una larga $\{f_{k_j}\}$ tal que $\big\{\|f_{k_j}\|_{L^2_s}\big\}_{j\in\mathbb{N}}$ converge, pero el problema es que esto no significa necesariamente que $\{f_{k_j}\}$ converge en $L^2_s$
- Yo quería usar el Rellich teorema de compacidad, pero esto sólo es cierto cuando existe un compacto $K\subset\mathbb{R}^n$ tal que $\text{supp }f_k\subset K$ todos los $k$. Pensé que usando el teorema de bolas en circuito cerrado centrado en cero cuyos radios ir hasta el infinito y, a continuación, diagonalizing, pero no creo que esto debería funcionar.
- Para simplificar, yo estaba pensando en el caso de que $n=1$. En este caso tengo el Sobolev incrustación teorema que demuestra que $H^1(\mathbb{R}^n)\subset C_0(\mathbb{R}^n)$ donde $C_0(\mathbb{R}^n)$ es la familia de funciones continuas en $\mathbb{R}^n$ que desaparecer en el infinito. Morrey la desigualdad también aquí muestra que los elementos de $H^1$ H$\ddot{\text{o}}$lder continuo, de modo que un uniformemente acotada secuencia en la $H^1$ sería equicontinuous, pero no creo que necesariamente limitada, por lo que este ruinas tratando de usar Arzela-Ascoli en forma significativa.
Me siento como que, como con la mayoría de las cosas en mi vida, estoy haciendo esta más complicado de lo que debe ser. Me siento como si un empujón en la dirección correcta sería muy beneficioso. Cualquier ayuda es muy apreciada. Por favor, sólo sugerencias como esta es una tarea para la clase.
