Hay una fórmula para esta integral

Question

¿Hay una fórmula para el integral siguiente? %#% $ de #% donde $$I(a,b)=\int_0^1 t^{-3/2}(1-t)^{-1/2}\exp\left(-\frac{a^2}{t}-\frac{b^2}{1-t} \right)dt$ son los números reales distintos de cero.

Answer 1

Voy a derivar el siguiente resultado usando el teorema de convolución para calcular transformadas de Laplace:

$$I(a,b) = \int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-1/2} \, e^{-b^2/(1-t)} = \frac{\sqrt{\pi}}{|a|} e^{-(|a|+|b|)^2}$$

Asumo $a$ $b$ $\gt 0$ para la derivación de abajo, pero usted verá que los valores absolutos de donde provienen. Es muy fácil comprobar la exactitud de este resultado con un par de ejemplos numéricos, por ejemplo, Wolfram Alpha.

Para empezar, me refiero a la derivación de la siguiente LT relación:

$$\int_0^{\infty} dt \, t^{-3/2} \, e^{-1/(4 t)}\, e^{-s t} = 2 \sqrt{\pi} \, e^{-\sqrt{s}}$$

Podemos cambiar la escala de este para obtener

$$\int_0^{\infty} dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t}\, e^{-s t} = \frac{\sqrt{\pi}}{a} \, e^{-2 a\sqrt{s}}$$

Ahora el teorema de convolución establece que la convolución de las anteriores

$$\int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-3/2} \, e^{-b^2/(1-t)}$$

es igual a la inversa de la LT de los productos de la persona LTs. Esto se expresa de la siguiente manera:

$$\frac{1}{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, e^s \frac{\pi}{a b} e^{-2 (a+b) \sqrt{s}}$$

Tenga en cuenta que este está siendo evaluada en la $t=1$. Y por supuesto, nosotros sabemos lo que el esta integral se evalúa como:

$$\int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-3/2} \, e^{-b^2/(1-t)} = \sqrt{\pi} \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right ) e^{-(a+b)^2}$$

Por supuesto, esta no es la integral buscada. Pero podemos derivar esta integral mediante la diferenciación con respecto al parámetro de $b$:

$$\frac{\partial}{\partial b} \int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-1/2} \, e^{-b^2/(1-t)} = -2 b \int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-3/2} \, e^{-b^2/(1-t)} $$

lo que significa que necesitamos para evaluar la siguiente integral:

$$-2 \sqrt{\pi} \int db \, b\, \left (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right )\, e^{-(a+b)^2} = -\frac{2 \sqrt{\pi}}{a} \int db\, (a+b) e^{-(a+b)^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{-(a+b)^2} + C$$

Utilizando el hecho de que el buscado después de la integral va a cero $b \to \infty$, $C=0$ y llegamos

$$I(a,b) = \int_0^1 dt \, t^{-3/2} \, e^{-a^2/t} \, (1-t)^{-1/2} \, e^{-b^2/(1-t)} = \frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{-(a+b)^2}$$

BONO

Por supuesto, yo podría haber considerado la convolución entre dos funciones diferentes:

$$f(t) = t^{-3/2} e^{-a^2/t}$$

$$g(t) = t^{-1/2} e^{-b^2/t}$$

con el correspondiente LTs

$$\hat{f}(s) = \frac{\sqrt{\pi}}{a} \, e^{-2 a\sqrt{s}}$$

$$\hat{g}(s) = \sqrt{\frac{\pi}{s}} \, e^{-2 b\sqrt{s}}$$

(No voy a derivar el último LT.) La convolución es entonces

$$\frac{\pi}{a} \frac{1}{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, e^s \, s^{-1/2} e^{-2 (a+b) \sqrt{s}} = \frac{\sqrt{\pi}}{a} e^{-(a+b)^2}$$

Answer 2

Esta clase de integrales ha sido examinada por Glasser y Ismail en 2 FCAA, 145 (1999)