Recuperando un polinomio cuadrático de tres valores usando cálculo

Question

Me pide solucionar el problema utilizando el cálculo:

Que $$f(x) = ax^2 + bx +c .$$ If $1 del artículo f = 3$, $f(2) = 7$, $f(3) =$ 13$, then find$a$,$b$, and$f(0).

Sé que puedo solucionar esto utilizando para resolver tres ecuaciones simultáneamente. Y también puedo solucionar esto utilizando el método de eliminación Gaussiana o de Gauss Jordan escribiendo la matriz aumentada. Pero me pregunto hay cualquier otro método para solucionar esto.

Resolver por cualquier método resulta que $a = b = c = 1$.

Answer 1

Este problema no tiene nada que ver con el cálculo. Saber sobre las simetrías de la función cuadrática se puede proceder como sigue:

Hacer $(2,7)$ su origen. Esto equivale a la introducción de la función $$g(y):=f(2+y)-7\ .$ $ entonces$$ g(y)=a'y^2+b'y+c', \qquad g(-1)=-4,\quad g(0)=0,\quad g(1)=6\ , y por lo tanto %#% $de #% sigue así que$$c'=0,\qquad 2a'=g(1)+g(-1)=2,\qquad 2b'=g(1)-g(-1)=10\ .$, que $g(y)=y^2+5y$ $

Answer 2

Sugerencia

Podemos usar los siguientes conveniente geométricas hecho acerca de las gráficas de polinomios de grado $\leq 2$:

Lema de La pendiente $m$ de la secante de la línea entre los puntos de $(x_1, y_1)$ $(x_2, y_2)$ en la gráfica de una función polinómica $f(x) := a x^2 + b x + c$ grado $\leq 2$ es la pendiente de la línea tangente a la gráfica de $f$ en el punto medio del intervalo de $[x_1, x_2]$, $m = f'\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)$.

La prueba , Por definición,, $$m := \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{(a x_2^2 + b x_2 + c) - (a x_1^2 + b x_1 + c)}{x_2 - x_1} = a (x_1 + x_2) + b,$$ but we can write this as $$2a\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) + b = f'\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) .$$ QED.

Este lema nos da inmediatamente $$f'\left(\tfrac{3}{2}\right) = f(2) - f(1), \qquad f'(2) = \frac{f(3) - f(1)}{2}, \qquad f'\left(\tfrac{5}{2}\right) = f(3) - f(2) .$$ Now, $f'$ is itself linear, so it satisfies the same property, and hence we can recover the second derivative of $f$ en un punto conveniente.

La informática da $$f''(2) = f'\left(\tfrac{5}{2}\right) - f'\left(\tfrac{3}{2}\right) = [f(3) - f(2)] - [f(2) - f(1)] = f(3) - 2 f(2) + f(1) .$$ We now have $f(2), f'(2), f"(2)$, which lets us recover $f(x)$ from its Taylor polynomial at $x = 2$: $$f(2) + f'(2) (x - 2) + \tfrac{1}{2} f''(2) (x - 2)^2 .$$ Substituting and simplifying gives $f(x) = x^2 + x + 1$.

Answer 3

Utilice el cálculo para resolver este... Bueno, puedo cuña de algunos cálculos en aquí...

La derivada de $f(x) = a x^2 + b x + c$ con respecto al $x$$2ax+b$. Por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos que $$\begin{align*} f(x) &= f(0) + \int_0^x 2 a t + b \,\mathrm{d}t \\ &= f(0) + (a t^2 + bt)_{t=x} - (a t^2 + bt)_{t=0} \\ &= f(0) + a x^2 + bx \text{.} \end{align*}$$ (Esto no es una impactante revelación: $c = f(0)$.) En consecuencia, $$\begin{align*} f(1) = 3 &= f(0) + \int_0^1 2 a t + b \,\mathrm{d}t = f(0) + a + b \text{,} \\ f(2) = 7 &= f(0) + \int_0^2 2 a t + b \,\mathrm{d}t = f(0) + 4a + 2b \text{, and} \\ f(3) = 13 &= f(0) + \int_0^3 2 a t + b \,\mathrm{d}t = f(0) + 9a + 3b \text{.} \end{align*}$$ Esto tiene la excelente propiedad de que exactamente contiene las expresiones, $a$, $b$, y $f(0)$, que se solicita en la Pregunta. Ahora vamos a ver cómo los cambios en la función entre los puntos dados. $$\begin{align*} f(2) - f(1) = 4 &= \int_1^2 2 a t + b \,\mathrm{d}t = 3a+b \text{ and} \\ f(3) - f(2) = 6 &= \int_2^3 2 a t + b \,\mathrm{d}t = 5a + b\text{.} \end{align*}$$ Estos nos dicen $2a=2$ o $a=1$. A continuación, la primera nos dice que $b=1$. De $3 = f(1) = f(0) + a + b$, nos encontramos con $f(0) = 1$.

Answer 4

En lugar de resolver un sistema de 3 ecuaciones (que es largo y tedioso) vamos a utilizar el método de Interpolación de Lagrange. La idea aquí es $n$ puntos en un polinomio de identificar de forma única un polinomio de grado $(n-1)$.

Mediante sus tres puntos:

$$g(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}f(1) +\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}f(2)+\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}f(3)$$

Vemos que esta función está de acuerdo con $f$$x = 1,2,3$, por lo que debemos tener ese $g = f$ (de lo contrario, hemos encontrado dos diferentes polinomios que pasan a través de los mismos 3 puntos de datos que sabemos no puede ser verdad)

Multiplique esto para revelar los valores que deseo!

Answer 5

Si no sabes interpolación de Lagrange, luego observe que $f(x)-4x+1$ tiene raíces en $x=1$ y $x=2$. Entonces tenemos $$f(x)=a(x-1)(x-2)$$ y puede x-1 + 4% de encontrar $a$sustituyendo $x=3$.