¿Es esto un derivado?

Question

Estoy un poco sobrepasado. Todo esto comenzó con mi lectura de cómo cada nivel del triángulo de pascales se suma a $2^n$ donde n=fila# empezando por n=0. Entonces pensé, "¿no sería inteligente si las filas se sumaran a algo más--como por ejemplo $3^n$ en su lugar?" O mejor aún, generalizarlo para cualquier constante, $a^n$ .

Todo lo que se necesitaba era Multiplicar cualquier número dado en el triángulo de pascal por $a^n/2^n$

$$ \begin{array}{rcccccccccc} & & & & & & 1\\\ & & & & & \frac{a}{2} & & \frac{a}{2}\\\ & & & & \frac{a^2}{4} & & \frac{a^2}{2} & & \frac{a^2}{4}\\\ & & & \frac{a^3}{8} & & \frac{3*a^3}{8} & & \frac{3*a^3}{8} & & \frac{a^3}{8}\\\ & & \frac{a^4}{16} & & \frac{a^4}{4} & & \frac{3*a^4}{8} & & \frac{a^4}{4} & & \frac{a^4}{16}\\\ & \frac{a^5}{32} & & \frac{5*a^5}{32} & & \frac{5*a^5}{16} & & \frac{5*a^5}{16}& & \frac{5*a^5}{32} & & \frac{a^5}{32}\\\ & \frac{a^6}{64}& &\frac{3*a^6}{32}& &\frac{15*a^6}{64}& &\frac{5*a^6}{16}& &\frac{15*a^6}{64}& &\frac{3*a^6}{32}& &\frac{a^6}{64}\\\ & & ... & & & &... & & & & ... & \end{array} $$

La adición de cualquier fila debería dar $a^n$ . Colocando dichos coeficientes delante de una expansión binomial y resolviendo la expresión binomial se obtiene $$(a^n/2^n)*(x+y)^n$$

Dejar a=2 hace que los pascales sean triángulos, pero cualquier otro valor de "a" distorsiona todos los valores y relaciones (excepto n=0 fila por razones obvias).

Este triángulo crea algunas relaciones interesantes que son compartidas con el triángulo de Pascal y que son inmediatamente obvias: cada término de la columna del medio puede ser dividido por "a" para dar lugar al término que está por encima y a la derecha o a la izquierda del mismo - al igual que el triángulo de Pascal (a=2).

Lo siguiente es una casualidad realmente fascinante: $$ \frac{\partial \frac {a^4}{4}}{\partial a}=a^3 $$ que es la suma de la línea superior. $$ \frac{\partial \frac {a^2}{4}}{\partial a}=\frac {a}{2} $$ que se encuentra en la línea anterior.

Me doy cuenta de que "a" debe tener un valor definido como coeficiente para tener significado, y no es en sí mismo una función, pero parece curioso que la relación de derivación aparezca en las relaciones entre los coeficientes de este triángulo modificado. Esta relación serendípica me fascina hasta el punto de preguntar "¿qué pasa?" aquí. ¿Es una derivada? ¿Han aparecido relaciones de derivación de forma orgánica en otras partes de la teoría de funciones?

Answer 1

El triángulo de Pascal es fascinante y codifica muchas relaciones matemáticas profundas. Sin embargo, creo que todo lo que has observado es que si $f(a)=a^n$ entonces $f'(a)=na^{n-1}$ . Esto explica que si se diferencia un término $\frac{a^n}{2^n}{n\choose k}$ en una fila con respecto a $a$ obtendrás algo parecido a la fila de arriba.

En particular, se obtiene $a^{n-1} \frac{n!\cdot n}{2^n(n-k)!k!}$ . Para n pequeño podría parecer que hay patrones, particularmente en las filas que son potencias de 2 ya que el $2^n$ podría desaparecer.

En general, sin embargo, esto no es una manipulación significativa del triángulo de Pascal, especialmente porque le has robado una de sus características más hermosas: el hecho de que ${{n-1}\choose k-1}+{{n-1}\choose k}={n \choose k}$ , o lo que es lo mismo, que cada entrada es la suma de las dos entradas anteriores.

En cuanto a su pregunta derivada, no estoy seguro de lo que espera... Creo que lo que has observado, por desgracia, es puramente incidental. Pero es estupendo que te des cuenta de los patrones, ¡así es como surgen la mayoría de las grandes ideas en matemáticas! Las derivadas tienen aplicaciones muy variadas e increíblemente útiles. Si por "relaciones derivadas" te refieres a las ecuaciones diferenciales, entonces sí, aparecen todo el tiempo en el análisis y las matemáticas aplicadas.

Answer 2

Puede reescribir su $$\frac{a^n}{2^n}(1+1)^n$$ como $$\left(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}\right)^n$$

Lamentablemente, ninguno de los dos ejemplos que mencionas parecen ser ejemplos concretos de patrones generales.