Que $X'$ $X$ ser espacios métricos con medidas $d$ y $d'$. Muestran que $m((p,p'), (q,q')) = \sqrt{d(p, q)^2 + d'(p,q)^2}$ es una métrica.

Question

Para el dado métrico $m((p,p'), (q,q')) = \sqrt{d(p, q)^2 + d'(p,q)^2}$. Yo he probado las dos primeras propiedades una sujeción métricas (esto es bastante trivial). Soy incapaz de probar la desigualdad de triángulo. Hasta ahora, mi trabajo es como sigue:

$$m((p,p'), (q,q')) = \sqrt{d(p, q)^2 + d'(p',q')^2} \le \sqrt{(d(p,r) + d(r, q))^2 + (d'(p',r') + d'(r', q'))^2} \\ \le \sqrt{(d(p,r) + d(r, q))^2} + \sqrt{(d'(p',r') + d'(r', q'))^2}$$

¿Cómo puedo continuar desde aquí? ¿Fue invocando $\sqrt{x+y} \le \sqrt x + \sqrt y$ ayuda?

Answer 1

Sugerencia:

Notación de la fijación, supongo que te refieres

$$m((p,p'), (q,q')) = \sqrt{ d(p,q)^2 + d'(p',q')^2}$$

Esto es una generalización de una norma euclidiana en $\mathbb R^2$. Puede probar la desigualdad de triángulo la misma manera como lo hacemos allí. Es decir, escribir

$$m((p,p'), (q,q'))^2 = \langle (d(p,q),d'(p',q')), (d(p,q),d'(p',q')) \rangle_{\mathbb R^2}^2$$

La prueba requiere la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Trate de escribir la prueba $\mathbb R^2$. Luego escríbalo hacia fuera su métrica $m$.