Ecuación de recurrencia: $u_n = 4u_{n−1} + 4u_{n−2}$ es $4x+4 = 4$ ¿la ecuación característica?

Question

Dada esta ecuación de recurrencia:

$u_1 = 0, u_2 = 1$

$u_n = 4u_{n1} + 4u_{n2}$

Es la ecuación característica correcta:

$4x+4 = 4$

EDITAR:

Resuelve por completo:

La ecuación característica es

$x^2-4x-4=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática...

$\alpha = 5$

$\beta=-1$

Así que:

$u_n = c_1 \alpha^n + c_2 \beta^n$

Resolvemos la ecuación...

$c_1 = 1/30$

$c_2 = 1/6$

Finalmente:

$u_n = \dfrac{5^n}{30} + \dfrac{(-1)^n}{6}$

Answer 1

Cuando trabajo con relaciones de recurrencia y trato de simplificarlas, me gusta mover todos los términos "recurrentes" a un lado. Haciendo esto aquí te dará una ecuación de diferencia homogénea. Así que aquí tendrías,

$u_{n} - 4u_{n-1} - 4u_{n-2} = 0$ .

Ahora, para encontrar la ecuación característica, puedes desplazar los subíndices para obtener,

$u_{n+2} - 4u_{n+1} - 4u_{n} = 0$ .

Ahora, podemos ver que la ecuación característica será,

$\lambda^{2} - 4 \lambda - 4 = 0$ .

Answer 2

Su ecuación característica es incorrecta. La forma de obtener la ecuación característica es asumir $u_n = m^n$ . Conéctalo para obtener una cuadrática en $m$ . Resolver para $m$ . Obtener las dos raíces dicen $m_1$ y $m_2$ . Ahora la solución general viene dada por la combinación lineal $u_n = a_1 m_1^n + a_2 m_2^n$ . Resolver para $a_1$ y $a_2$ utilizando las condiciones iniciales.

Esta metodología es análoga a la de enchufar $y=e^{mx}$ cuando se quiere resolver una EDO lineal. Aquí tienes una ecuación en diferencia en lugar de una ecuación diferencial.

Answer 3

La ecuación característica es la ecuación satisfecha por $\lambda$ si $u_n = \lambda^n$ sea una solución. Por ejemplo, si la recurrencia es $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ entonces una solución $\lambda^n$ debe satisfacer $$\lambda^n = \lambda^{n-1} + \lambda^{n-2}.$$ La cuestión es que todas estas ecuaciones se reducen a la única ecuación $$\lambda^2 = \lambda + 1.$$ Volviendo a tu pregunta, cuando sigo los mismos pasos me sale otra cosa.

Answer 4

Prueba las técnicas de Wilf... define $U(z) = \sum_{n \ge 0} u_{n + 1} u^z$ , y escribir la recurrencia como $$ u_{n + 2} = 4 u_{n + 1} + 4 u_n \qquad u_1 = 0, u_2 = 1 $$ Por propiedades de las funciones generadoras: $$ \frac{U(z) - u_1 - u_2 z}{z^2} = 4 \cdot \frac{U(z) - u_1}{z} + 4 \cdot U(z) $$ Máxima resuelve esto como: $$ U(z) = \frac{z}{1 - 4 z - 4 z^2} = \frac{1}{2^{5/2}} \cdot \frac{1}{1 - (2^{3/2} + 2) z} - \frac{1}{2^{5/2}} \cdot \frac{1}{1 + (2^{3/2} - 2) z} $$ Dos series geométricas: $$ u_{n + 1} = \frac{1}{2^{5/2}} \cdot \left( (2^{3/2} - 2)^n - (-1)^n (2^{3/2} + 2)^n \right) $$