Independencia lineal antes y después de la transformación lineal

Question

Si nos dan unos vectores linealmente dependientes, ¿sería la T de esos vectores necesariamente dependiente (dada una transformación de $R^n$ a $R^p$ )?

Y si se nos dan algunos vectores linealmente independientes, ¿sería T de esos vectores necesariamente independiente (dada una transformación de $R^n$ a $R^p$ )?

Las respuestas son presumiblemente no y no, pero me cuesta averiguar por qué. Gracias.

Answer 1

Si un conjunto de vectores es dependiente existe una combinación no trivial de algunos de ellos que es igual a 0: $$a_1v_1+\dots+a_n v_n=0,$$ donde no todos los escalares $a_i$ son $0$ . Linealidad de $T$ debe darle de una vez que el $Tv_i$ también son linealmente dependientes (como atestigua el mismo $a_i$ ).

En cambio, no es necesario mantener la independencia lineal. Por ejemplo, consideremos la transformación lineal que asigna todos los vectores a 0.

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Ahora, bajo algunas condiciones adicionales, una transformación lineal puede preservar la independencia. Por ejemplo, supongamos que $T$ es inyectiva (es decir, la única solución de $Tv=0$ es $v=0$ ). Entonces $T$ preserva la independencia lineal: Supongamos que $Tv_1,\dots,Tv_n$ son dependientes, por lo que hay escalares $b_1,\dots,b_n$ , no todas cero, tales que $$b_1Tv_1+\dots+b_nTv_n=0.$$ Por linealidad, se obtiene $T(b_1v_1+\dots+b_nv_n)=0$ y, si $T$ es inyectiva, entonces $b_1v_1+\dots+b_nv_n=0$ por lo que el $v_i$ son dependientes. (O, si lo prefiere: Si el $v_i$ son independientes, y tenemos $b_1Tv_1+\dots+b_nTv_n=0$ entonces como arriba obtenemos $b_1v_1+\dots+b_nv_n=0$ y la independencia nos da que $b_1=\dots=b_n=0$ por lo que el $Tv_i$ son independientes).

Inyectividad de $T$ es la única manera de garantizar que cualquier conjunto independiente se asigna a un conjunto independiente. Sin embargo, aunque $T$ no es inyectiva, puede haber algunos conjuntos independientes cuya independencia se conserve. Por ejemplo, consideremos la transformación lineal $T:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^2$ dada por $T(x,y,z)=(x,y)$ .

Entonces $T$ mapea ambos $(1,0,0)$ y $(1,0,1)$ a $(1,0)$ . Los vectores originales son independientes, los vectores resultantes obviamente no lo son (¡coinciden!). Pero, por otro lado, $T$ preserva la independencia lineal de dos vectores cualesquiera (independientes) cuya última coordenada sea 0.

Answer 2

Supongamos que $v_1,\cdots v_n$ son linealmente independientes y T es una transformación lineal. Supongamos que ker(T) sólo interseca el tramo lineal $W$ de $v_1, \cdots v_n$ sólo en $\{0\}$ . Entonces T preserva la independencia lineal de $v_1, \cdots v_n$ .

Esta condición es necesaria y suficiente.

Answer 3

Hay que tener un poco de cuidado con las afirmaciones; la principal dificultad radica en cómo tratar las colecciones de series que incluyen repeticiones.

La mayoría de las veces, cuando pensamos en vectores y espacios vectoriales, un lista de vectores que incluye repeticiones se considera linealmente dependiente, aunque como configure técnicamente puede no serlo. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^2$ El lista $\mathbf{v}_1=(1,0)$ , $\mathbf{v}_2=(1,0)$ se considera linealmente dependiente, porque $\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2 = \mathbf{0}$ . Pero como decorados, $\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} = \{(1,0)\} = S$ , tienes que $S$ es linealmente independiente (contiene un único elemento y éste es distinto de cero).

Si estás considerando listas, y las repeticiones están permitidas (y hacen que una lista sea linealmente dependiente), entonces la respuesta de Andrés es completamente correcta. Si está considerando establece y las repeticiones son un problema, entonces el problema es mucho más difícil. Sospecho que este no es el caso, ya que es casi nunca pero tal vez quieras volver a comprobarlo (y tratar de averiguar cómo puedes hacer que un conjunto linealmente dependiente se corresponda con un conjunto de vectores que es linealmente independiente cuando se considera como un conjunto, en el que se ignoran las repeticiones).

Answer 4

Sólo para añadir a la respuesta de Arturo Magidin, si usted está considerando establece de vectores en lugar de enumera entonces ambas afirmaciones son falsas:

Considere $T:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \: T(x,y) = x+y,$ y establece $A = \{(2,0),(0,2),(1,1)\}$ y $B = \{(1,-1)\}$ . Entonces $A$ depende linealmente, pero $T(A) = \{2\}$ es linealmente independiente; y $B$ es linealmente independiente, pero $T(B) = \{0\}$ depende linealmente.