Prueba se alternan para "$\log_{10}{2}$ es irracional"

Question

Necesito demostrar que $\log_{10}{2}$ es irracional. Entiendo que la forma en que esta prueba se realizó utilizando contradicción para demostrar que incluso en el lado izquierdo no es igual a la extraña RHS, pero lo hice de una manera diferente y quería comprobar su validez!

Demostrar por contradicción: Supongamos que $\log{2}$ es racional, es decir, puede ser escrito como $$\log{2} = \frac{a}{b}$$ where $un$ and $b$ son números enteros. Entonces

$$2 = 10^{\frac{a}{b}}$$

$$2 = 10^a10^{\frac{1}{b}}$$

$$\frac{2}{10^{a}} = 10^{\frac{1}{b}}$$

Registro de ambos lados:

$$\log(\frac{2}{10^{a}}) = \frac{1}{b}$$

$$\log{2} - \log(10^a) = \frac{1}{b}$$

$$\log{2} = \frac{1}{b} + a$$

$$\log{2} = \frac{ab+1}{b}$$

Sin embargo, asumimos que el $\log(2)=\frac{a}{b}$ y por lo tanto tenemos una contradicción.

Answer 1

Como se ha señalado en comentarios y en otra respuesta, $10^{a/b}\neq 10^{a}10^{\frac{1}b}$. Esto es un error bastante sutil, sin embargo, hay una bandera de advertencia notable que podría alertar a él: la prueba no utiliza la hipótesis de que $a$ y $b$ son números enteros. Este es un problema grave, porque significa que has probado la afirmación (falsa) que $\log(2)$ no se puede escribir como una fracción $\frac{a}b$ - aunque dejamos $a$ $b$ ser reales, pero: $$\frac{\log(2)}1=\log(2)$ $

Answer 2

Una prueba puede llevarse a cabo después de modificar un poco el cálculo.

$$2=10^{\frac{a}{b}}\implies \color{blue}{2^b=10^a}\implies2^{b-a}=5^a$$

Que es una contradicción cuando ambos $a$ y $b$ son números enteros distintos de cero. Revise cuidadosamente el paso color y comprenderéis en qué paso se cometió un error.

Answer 3

Tenga cuidado, $10^{\frac{a}{b}}$ es igual a $(10^{a})^{\frac{1}{b}}$ % no $10^{a}10^{\frac{1}{b}}$

Answer 4

Otros han ya señalado que la prueba estaba mal. Una manera diferente de ver que la prueba está mal es la siguiente: si reemplazar 2 en la prueba en todas partes por 10, obtengo el resultado que log(10) también es irracional.

Cualquier prueba de la irracionalidad de la log(2) no debe trabajar para log(10). (Si usted toma 10 como base de su logaritmo.)

Answer 5

La prueba de irracionalidad de $\log 2$ se puede hacer en pocas líneas usando propiedades de divisibilidad primaria o números naturales. Asumir $a, b \in \mathbb{N}$, $\text{gcd}(a,b) = 1$ y $a < b$. Así: $\log 2 = \dfrac{a}{b} \to 2 = 10^{\frac{a}{b}} \to 2^b = 10^a = 2^a\cdot 5^a \to 2^{b-a} = 5^a$. Vemos una contradicción porque el $LHS$ es incluso mientras que el $RHS$ es impar.