Categoría de montajes induciendo una Mónada particular

Question

Cada par $F \dashv G$ de adjoint functors $F: \mathcal C \to \mathcal D$, $G: \mathcal D \to \mathcal C$ induce una mónada $\mathbb T = (T,\eta,\mu)$ $\mathcal C$ . Dada una monada $\mathbb T = (T,\eta,\mu)$$\mathcal C$, definimos $\operatorname{Adj}(\mathbb T)$ a la categoría de adjunctions la inducción de la $\mathbb T$. Sus objetos son adjunto pares de functors $F \dashv G$ $\mathcal C$ y algunos categoría $\mathcal D$ de manera tal que la mónada inducida por la contigüidad es $\mathbb T$, es decir,$GF = T$, la unidad es $\eta$, e $G\varepsilon F = \mu$ donde $\varepsilon$ es el counit. Los morfismos entre dos de tales adjunctions $F \dashv G$, $F' \dashv G'$ son functors $H: \mathcal D \to \mathcal D'$ tal que $HF=F'$$G' H = G$.

Ahora estoy preocupado si esto es realmente una categoría. Considere el ejemplo donde $\mathcal C$ es una categoría de objeto con sólo la identidad de morfismos y $\mathbb T = (T,\eta,\mu)$ es el trivial de la mónada. Para cada categoría de $\mathcal D$ que tiene un objeto inicial $I$, se obtiene una contigüidad $F \dashv G$ donde $F: \mathcal C \to \mathcal D$ envía el único objeto de $\mathcal C$$I$, e $G: \mathcal D \to \mathcal C$ envía todo al objeto (es fácil comprobar que se trata realmente de una contigüidad). Sus inducida por la mónada en el $\mathcal C$ es necesariamente $\mathbb T$. Por lo $\operatorname{Adj}(\mathbb T)$ contiene al menos un objeto para cada categoría tiene un objeto inicial. Sin embargo, $\operatorname{Adj}(\mathbb T)$ tiene en sí misma un objeto inicial, a saber, la Kleisli contigüidad, que en este caso es sólo $1_{\mathcal C} \dashv 1_{\mathcal C}$. Si $\operatorname{Adj}(\mathbb T)$ es una categoría, parece que en la forma que se contiene a sí misma, en la forma de la contigüidad $\mathcal C \rightleftarrows \operatorname{Adj}(\mathbb T)$ definido por la Kleisli contigüidad. (Cómo) ¿Es posible?

Answer 1

Bueno, cada uno trabaja en un marco donde pueden uno mismo-que contienen categorías (pero no conozco a ninguno), o una persona trabaja con más cuidado. Así que yo diría algo así como, fijar un universo $\mathbf{U}$ $\mathcal{C}$ es una categoría de $\mathbf{U}$ pequeñas y deje que $\mathbf{Adj}(\mathcal{C})$ es la modalidad de %#% categorías de #%-pequeño equipado con una adjunción etcetera.; entonces $\mathbf{U}$ no será $\mathbf{Adj}(\mathcal{C})$ pequeñas y así que a no es miembro de sí mismo.