Cada par F⊣G de adjoint functors F:C→D, G:D→C induce una mónada T=(T,η,μ) C . Dada una monada T=(T,η,μ)C, definimos Adj(T) a la categoría de adjunctions la inducción de la T. Sus objetos son adjunto pares de functors F⊣G C y algunos categoría D de manera tal que la mónada inducida por la contigüidad es T, es decir,GF=T, la unidad es η, e GεF=μ donde ε es el counit. Los morfismos entre dos de tales adjunctions F⊣G, F′⊣G′ son functors H:D→D′ tal que HF=F′G′H=G.
Ahora estoy preocupado si esto es realmente una categoría. Considere el ejemplo donde C es una categoría de objeto con sólo la identidad de morfismos y T=(T,η,μ) es el trivial de la mónada. Para cada categoría de D que tiene un objeto inicial I, se obtiene una contigüidad F⊣G donde F:C→D envía el único objeto de CI, e G:D→C envía todo al objeto (es fácil comprobar que se trata realmente de una contigüidad). Sus inducida por la mónada en el C es necesariamente T. Por lo Adj(T) contiene al menos un objeto para cada categoría tiene un objeto inicial. Sin embargo, Adj(T) tiene en sí misma un objeto inicial, a saber, la Kleisli contigüidad, que en este caso es sólo 1C⊣1C. Si Adj(T) es una categoría, parece que en la forma que se contiene a sí misma, en la forma de la contigüidad C⇄ definido por la Kleisli contigüidad. (Cómo) ¿Es posible?