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Categoría de montajes induciendo una Mónada particular

Cada par FG de adjoint functors F:CD, G:DC induce una mónada T=(T,η,μ) C . Dada una monada T=(T,η,μ)C, definimos Adj(T) a la categoría de adjunctions la inducción de la T. Sus objetos son adjunto pares de functors FG C y algunos categoría D de manera tal que la mónada inducida por la contigüidad es T, es decir,GF=T, la unidad es η, e GεF=μ donde ε es el counit. Los morfismos entre dos de tales adjunctions FG, FG son functors H:DD tal que HF=FGH=G.

Ahora estoy preocupado si esto es realmente una categoría. Considere el ejemplo donde C es una categoría de objeto con sólo la identidad de morfismos y T=(T,η,μ) es el trivial de la mónada. Para cada categoría de D que tiene un objeto inicial I, se obtiene una contigüidad FG donde F:CD envía el único objeto de CI, e G:DC envía todo al objeto (es fácil comprobar que se trata realmente de una contigüidad). Sus inducida por la mónada en el C es necesariamente T. Por lo Adj(T) contiene al menos un objeto para cada categoría tiene un objeto inicial. Sin embargo, Adj(T) tiene en sí misma un objeto inicial, a saber, la Kleisli contigüidad, que en este caso es sólo 1C1C. Si Adj(T) es una categoría, parece que en la forma que se contiene a sí misma, en la forma de la contigüidad C definido por la Kleisli contigüidad. (Cómo) ¿Es posible?

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Aleksandr Levchuk Puntos 1110

Bueno, cada uno trabaja en un marco donde pueden uno mismo-que contienen categorías (pero no conozco a ninguno), o una persona trabaja con más cuidado. Así que yo diría algo así como, fijar un universo \mathbf{U} \mathcal{C} es una categoría de \mathbf{U} pequeñas y deje que \mathbf{Adj}(\mathcal{C}) es la modalidad de %#% categorías de #%-pequeño equipado con una adjunción etcetera.; entonces \mathbf{U} no será \mathbf{Adj}(\mathcal{C}) pequeñas y así que a no es miembro de sí mismo.

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