¿Qué es $\frac{\det(A+tI)}{\det(B+tI)}$ $t\to0$?

Question

Si $A$ y $B$ son dos matrices de #% real $2\times 2$y $\det A = 0 $ $\det B = 0 $y $\mathrm{tr}(B)$ son no cero. entonces lo que será límite de $$\lim_{t\to0}\frac{\det(A+tI)}{\det(B+tI)}$ $ utilicé la fórmula $\lambda^2-\mathrm{tr} A+\det A = 0$. entonces creo que respuesta es $\dfrac{\mathrm{tr}(A)}{\mathrm{tr}(B)}$. ¿Estoy correcto?

¿Cuál sería la extensión de $\det(A+tI)$ para un $2\times 2$ matrices?

Answer 1

Que $A$ ser una matriz de $n \times n$. Entonces, uno puede comprobar $ de $$\det (A + t I) = t^n + t^{n-1} \operatorname{tr} A + \cdots + t \, \lambda(A) + \det A$ $\lambda (A)$ Dónde está una cierta constante dependiendo de los valores propios de la matriz $A$. En el caso $n = 2$, $\lambda (A) = \operatorname{tr} A$. Así que, si $A$ y $B$ son dos matrices de $n \times n$, $$\frac{\det (A + t I)}{\det (B + t I)} = \frac{t^n + t^{n-1} \operatorname{tr} A + \cdots + t \, \lambda(A) + \det A}{t^n + t^{n-1} \operatorname{tr} B + \cdots + t \, \lambda(B) + \det B}$ $ por lo tanto, si $\det A = \det B = 0$ y $\lambda (B) \ne 0$, $$\lim_{t \to 0} \frac{\det (A + t I)}{\det (B + t I)} = \frac{\lambda (A)}{\lambda (B)}$ $ y en el caso especial $n = 2$ esto reduce a exactamente lo que adivinaron.