¿Cómo funciona esto ' manipulación de la regla de la cadena ' trabajo?

Question

PS - esta es una "física" de la pregunta, pero la matemática en la naturaleza... si debo pedir en la física SE en su lugar, por favor hágamelo saber

Mirando hacia atrás a través de mis libros de física, he encontrado una derivación de la Energía Cinética, donde se comienza por la definición de trabajo ($W$) como la integral de la suma de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto más de la distancia que el objeto se mueve:

$$W = \int_{x_i}^{x_f}\sum\vec{F}\,\mathrm{d}x$$

A continuación, pasa a través de algún tipo de manipulación (usando la segunda ley de Newton ($F = ma$) y la aceleración de ser la derivada de la velocidad) para realizar las siguientes:

$$W = \int_{x_i}^{x_f}ma\,\mathrm{d}x = \int_{x_i}^{x_f}m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}x $$

Y, a continuación, afirma que utiliza la "regla de la cadena manipulaciones" para hacer esto:

$$\int_{x_i}^{x_f}m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}x = \int_{x_i}^{x_f}m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}x=\int_{v_i}^{v_f}mv\,\mathrm{d}v$$

Lo que está pasando aquí, exactamente?

• ¿Por qué fueron capaces de utilizar la definición de la regla de la cadena? (¿Bajo qué condiciones se podría hacer esto?)
• ¿Por qué el integrando comprimir en $v\,\mathrm{d}v$?
• ¿El hecho de que $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ se convirtió $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ nos dicen que $v$ es una función de $x$, e $x$ es una función de $t$?
• ¿Por qué hay un cambio de variable en los límites de integración?

Answer 1

Esto es sólo la integración por sustitución, la cual está inspirada en la regla de la cadena: $\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt}$, por lo que podemos cambiar la integración de la variable de$x$$v$, "moralmente" al decir $\frac{dv}{dx} dx = dv$. La historia real se utiliza la regla de la cadena y de la FTC, pero esta es la idea. Tenga en cuenta que cuando se integran por sustitución, usted realmente actualización de los límites, es decir, la integración por sustitución sugeriría que $\int_a^b u(x) u'(x) dx = \int_{u(a)}^{u(b)} u du$ (abusando de la notación ligeramente en la última expresión).

Esto sólo funcionará siempre $x$ es continuamente diferenciable y su derivada no cambia de signo. Si que es violado, entonces usted tiene que dividir el integral o tal vez incluso lidiar con una ruta integral en ciertas situaciones.

Answer 2

A partir de la tercera línea que se están rompiendo $$ \frac{dv }{dt}$$ a $$ \frac{dv }{dx}* \frac {dx}{dt} $$ observe que dx valores cancelar cuando se multiplican juntos (esencialmente multiplicando por $$ 1=\frac{dx}{dx}$$ From here the right term $$ \frac{dx }{dt}$$ becomes velocity and the left term $$ \frac{dv}{dx}$$ cancela con el original dx de la integral para dejar de dv.

Así que, esencialmente, se multplied por 1 (dx/dx) para cambiar la expresión en mv en lugar de ma. La regla de la cadena se aplica siempre, pero por lo general no la pierdas de vista. Por ejemplo, si $y=x^2$ $dy/dx=2x*dx/dx$ pero $dx/dx=1$.

Tal vez usted ya ha entendido esto y están haciendo algo más, pero si no espero que esto ayude.