¿Puede un supremum infinito? ¿Puede ser un máximo?

Question

¿Si usted considera todos los números verdaderos, es infinito el supremum? ¿Al máximo?

Sé que el supremum no tiene que ser en el conjunto y no el máximo, pero estoy confundida en cuanto a cómo responder a estas preguntas. ¿Son los números verdaderos técnicamente delimitados por encima aunque van siempre?

Answer 1

Deje $T$ ser un conjunto totalmente ordenado. El supremum de un subconjunto $S \subseteq T$, si es que existe, es un elemento $s \in T$ tales que (1) $s$ es un límite superior de $S$, y (2) para todas las $x$ cuales son los límites superiores de $S$, $x \ge s$. Se puede demostrar que si ese $s$ existe, entonces es único, utilizando las propiedades de un orden total.

Es, ciertamente, no se garantiza que un supremum existe. Por ejemplo, $\varnothing$ sólo tiene un supremum si $T$ tiene un mínimo elemento. El conjunto $\{x \;:\; x^2 \le 2\}$ no tiene supremum en $\mathbb{Q}$. Y no acotada establece en $\mathbb{R}$ no tienen ningún supremum.

En particular, supremums hacer no siempre existen en los números reales. Sólo acotado, no vacía de subconjuntos de a $\boldsymbol{\mathbb{R}}$ tienen menos de límite superior.

Sin embargo, es conveniente cuando se habla de la supremum sobre el número real de los conjuntos de considerar los subconjuntos de la extendida números reales, $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty,\infty\}$, en lugar de los subconjuntos de los números reales. Si usted hace esto, entonces todo subconjunto de a $\boldsymbol{\overline{\mathbb{R}}}$ tiene al menos un límite superior, y $\sup$ es una bien definida la función de$\mathcal{P}(\overline{\mathbb{R}})$$\overline{\mathbb{R}}$. Por ejemplo:

• $\sup \varnothing = -\infty$,

• $\sup \{-\infty\} = -\infty$,

• $\sup \mathbb{R} = \infty$,

y así sucesivamente.

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Un máximo de $S \subseteq T$ es simplemente un supremum de $S$ tal que $s \in S$. A menudo supremums no son máximos; $[0,1)$ ha supremum $1$ pero no un máximo (en $\mathbb{R}$). $\varnothing$ ha supremum $-\infty$ pero no un máximo (en $\overline{\mathbb{R}}$).

A diferencia de supremums, sea o no en un conjunto tiene un máximo no depende de lo que está contenido en. Así

• $\mathbb{R}$ no tiene supremum como un subconjunto de sí mismo, pero no tienen un supremum en $\overline{\mathbb{R}}$.

• $\mathbb{R}$ no tiene máximo, ya sea en sí mismo o en $\overline{\mathbb{R}}$.

Cualquier conjunto con un límite máximo de un supremum, así supremum es estrictamente una noción más general de la máxima.

Answer 2

Ni el máximo ni el supremum de un subconjunto se garantiza que existen. Si consideras que los números reales como subconjunto de sí mismo, no hay ninguna supremum. Si se considera un subconjunto de los números verdaderos extendidos, que incluye el infinito, infinito es el supremum.

Answer 3

El supremum de un conjunto $A$ de los números reales que no pueden existir por dos razones: no hay ningún límite superior en todo, o entre los límites superior hay no menos de límite superior. En el primer caso se acostumbra a escribir $\sup A=+\infty$, en el segundo caso se acostumbra a escribir $\sup A=-\infty$. La apariencia del símbolo especial $\infty$ ¿ no significan una verdadera supremum aquí. Comparar con $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$, lo que escribimos cuando el límite en realidad no existe - de una manera especial: Si esta donde realmente un límite, la declaración con la afirmación de que para cada una de las $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta$ implica $|f(x)-\infty|<\epsilon$ - lo cual es un disparate.

Entonces por qué introducir estos extraños notaciones para los diferentes casos en que no existen suprema? La ventaja es que estas notaciones simbólicas nos permiten extender la validez de ciertos teoremas. Por ejemplo, Si $A$, $B$ son dos conjuntos y $\sup A$, $\sup B$ existe, $\sup(A\cup B)$ también existe y $\sup(A\cup B)=\max\{\sup A,\sup B\}$. Si empleamos la intuitiva reglas para la máxima que implican $\pm\infty$, $\sup(A\cup B)=\max\{\sup A,\sup B\}$ continuo para mantener incluso en los casos en que uno o ambos de $\sup A$, $\sup B$ no existe!

Así, mientras que $\infty$ es - en el sentido arriba - el supremum de, por ejemplo, el conjunto de todos los números reales (así como el supremum de $\mathbb N$ y cualquier otro conjunto que no está delimitado de la anterior), ciertamente no es la máxima de cualquier conjunto: El máximo de un conjunto $A$ siempre es un elemento de $A$ o no existe (y como el símbolo especial $\infty$ no es un elemento de $\mathbb R$, no puede suceder que $\max A=\infty$ algunos $A\subseteq \mathbb R$); softonic no introducir algún capricho especial de notación simbólica para el caso de la inexistente máximo (y que aunque el máximo, aún más posibilidades de no existir a que el supremum)! Esta diferencia entre la máxima y la supremum puede parecer sorprendente a primera, pero ha resultado ser útil. (Por ejemplo, cuando un fucnstion alcanza su máxima queremos ser capaces de localizar un punto en el que pasa; si no hay un máximo, es importante notar que no hay tal punto puede ser atrapado.

Answer 4

Depende de si usted toma el supremum o $\Bbb R$ $\Bbb R\cup\{\infty\}$. En el primer caso, no, porque $\infty$ no es un número real. En sí caso, segundo.

Answer 5

El más común caso es Sup son definidos en términos de números reales, $\mathbb R.$ se puede, y personas tienen, anexar $\infty$ a los números verdaderos. El costo de esta conveniencia es que han cambiado el juego que están trabajando en y ahora tienes que comprobar cómo cada definición y Teorema que utilizas ha sido afectada por esto.