¿Qué significa?

Question

¿Qué significa $ d\tan(x) = \sec^2(x)dx$?

Lo he visto utilizado en problemas de integración para hacerlo más sencillo. Sin embargo, no estoy muy seguro de lo que significa. ¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Es realmente justo taquigrafía para escribir el reemplazo completo variable. En vez de escribir: $$\int \sec^2(x)dx= \int \left(\frac{d}{dx} \tan(x)\right)dx= \tan(x)+C$ $ sólo se puede escribir: $$\int \sec^2(x)dx= \int d\tan(x)$ $, que es como escribir:

$$\int dy = y+C \ \to \ \int d\tan(x) = \tan(x)+C$$

Como sugiere su ejemplo en los comentarios que esto funciona para más complejos integrales así:

Igual que $$\int \sec^2(x)\tan(x)dx = \int \tan(x)\ d\tan(x) = \frac{\tan^2(x)}{2}+C$ $: $$\int y dy = \frac{y^2}{2}+C $ $

Answer 2

Los diferenciales de medida de la tendencia de una función a cambio de un infinitesimalmente pequeño cambio de la variable dependiente. La expresión $d\tan x=\sec^2 xdx$ significa que la diferencia de $\tan x_1-\tan x_0$ es de aproximadamente $\sec^2x_0\cdot(x_1-x_0)$ al $x_1$ es cerca de $x_0$.

En otras palabras, si podemos reducir a cambios infinitesimales de $x$, estamos diciendo que la pendiente de la función de $\tan x$ a un punto de $x_0$$\sec^2x_0$.

Como otros ya han señalado, el valor de expresiones como esta en el cómputo de las integrales es que a menudo es más fácil ver una antiderivada de haber cambiado de variables. En cierto sentido, estamos permitiendo $\tan x$ a convertirse en nuestra nueva variable independiente en la integración.

Answer 3

No sé si es una práctica común, pero cuando estaba enseñado cálculo eso notación para la diferenciación como especie de un método implícito de utilizar la regla de la cadena. Por ejemplo

$$d(\sin(xe^x))=\cos(xe^x)d(xe^x)=\cos(xe^x)(e^xdx+xd(e^x))=\cos(xe^x)(xe^x+e^x)dx$$

Si te hace más cómodo, reemplace $d()$ $\frac {d()}{dx}$.

$$\frac{d(\sin(xe^x))}{dx}=\cos(xe^x)\frac{d(xe^x)}{dx}=\cos(xe^x)(e^x+x\frac{de^x}{dx})=\cos(xe^x)(xe^x+x)$$

o en su caso

$$\frac{d(\tan x)}{dx}=\sec^2x$$

O si desea adoptar la notación

$$u=\tan x,du=d(\tan x)=\sec^2xdx$$